《2025年人教金学典同步练习册同步解析与测评高中数学选择性必修第一册人教版》

1.如图，三棱锥D−ABC的各条棱长
均为2，OA，OB，OC两两垂直，则下
列说法正确的是( ).

A.OA,OB,OC
的长度相等
B.直线OD与BC
所成的角是45°
C.直线AD与OB
所成角的大小是45°
D.直线OB与平面ACD所成的角
的余弦值为$\frac{√3}{3}$

答案：
1.AC
[解析]因为三棱锥$D - ABC$的各条棱长均为2，$OA$，$OB$，$OC$两两垂直
所以$OA = OB = OC=\sqrt{2}$，故A选项正确。
如图，建立空间直角坐标系。

可得$O(0,0,0)$，$A(\sqrt{2},0,0)$，$B(0,\sqrt{2},0)$，$C(0,0,\sqrt{2})$，$D(\sqrt{2},\sqrt{2},\sqrt{2})$
所以$\overrightarrow{OB}=(0,\sqrt{2},0)$，$\overrightarrow{AC}=(-\sqrt{2},0,\sqrt{2})$，$\overrightarrow{AD}=(0,\sqrt{2},\sqrt{2})$，$\overrightarrow{BC}=(0,-\sqrt{2},\sqrt{2})$
故$\overrightarrow{OD}·\overrightarrow{BC}=0$，即$\overrightarrow{OD}\perp\overrightarrow{BC}$，直线$OD$与$BC$所成的角是$90^{\circ}$，故B选项错误。
$\cos\langle\overrightarrow{AD},\overrightarrow{OB}\rangle=\frac{\overrightarrow{AD}· \overrightarrow{OB}}{|\overrightarrow{AD}||\overrightarrow{OB}|}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，可得直线$AD$与$OB$所成的角的大小是$45^{\circ}$，故C选项正确。
设平面$ACD$的法向量为$\vec{n}=(x,y,z)$
则$\begin{cases} \vec{n}· \overrightarrow{AC}=0 \\ \vec{n}· \overrightarrow{AD}=0 \end{cases}$
即$\begin{cases} -\sqrt{2}x+\sqrt{2}z = 0 \\ \sqrt{2}y+\sqrt{2}z = 0 \end{cases}$
令$x = 1$，则$y = -1$，$z = 1$
所以$\vec{n}=(1,-1,1)$为平面$ACD$的一个法向量。
设直线$OB$与平面$ACD$所成的角为$\theta$
则$\sin\theta=|\cos\langle\overrightarrow{OB},\vec{n}\rangle|=\frac{|\overrightarrow{OB}· \vec{n}|}{|\overrightarrow{OB}||\vec{n}|}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}×\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$
$\cos\theta=\frac{\sqrt{6}}{3}$
故D选项错误。

2.如图，在三棱锥P−ABC中，AC=
BC=2,∠ACB=90°,AP=BP=AB,
PC⊥AC.
(1)求证:PC⊥AB;
(2)求平面APB和平面APC夹角的
余弦值;
(3)求点C到平面APB的距离.

答案：
2.
(1)如图，取$AB$中点$M$。
因为$AP = BP = AB$
所以$PM\perp AB$
又因为$AC = BC$
所以$CM\perp AB$，$PM\cap MC = M$，$AB\perp$平面$PMC$
所以$PC\perp AB$。

(2)因为$PC\perp AB$，$PC\perp AC$
所以$PC\perp$平面$ABC$
以$C$为原点，$CB$，$CA$，$CP$所在直线分别为$x$轴、$y$轴、$z$轴，建立空间直角坐标系
则$A(0,2,0)$，$B(2,0,0)$，$P(0,0,2)$
易得$\vec{n}=(1,1,1)$是平面$APB$的一个法向量，$\vec{m}=(1,0,0)$是平面$APC$的一个法向量。
所以平面$APB$和平面$APC$夹角的余弦值为$|\cos\langle \vec{m},\vec{n}\rangle|=\frac{\sqrt{3}}{3}$。
(3)因为$\vec{n}=(1,1,1)$是平面$APB$的一个法向量，$\overrightarrow{CB}=(2,0,0)$
所以所求距离为$d=\frac{|\overrightarrow{CB}· \vec{n}|}{|\vec{n}|}=\frac{2}{3}\sqrt{3}$。