《2025年人教金学典同步练习册同步解析与测评高中数学选择性必修第一册人教版》

例 如图 1.4−6，在直四棱柱
AlBlClD1−ABCD中，底面ABCD为梯
形，AB//CD,∠ABC=90°,AB=1,
BC=CD=2.
(1)在侧棱BB1上求一点M，使得
ClM//平面ACD1;
(2)在(1)的条件下，若平面ACD1
与平面ACM夹角的大小为60°，求DD1
的长.

答案： 分析:建立空间直角坐标系后，可设
棱柱高为2h，则各顶点坐标均可写出.
(1)利用CM与平面ACD的法向量垂
直，可求得点M的坐标.
(2)两平面的夹
角可转化为其法向量的夹角，由此可求
得DD1.
解:
(1)如图1.4−6，以B为原点，
BC，BA，BB1所在直线分别为x轴、y
轴、z轴，建立空间直角坐标系，则
A(0,1,0),C(2,0,0),D(2,2,0).
设棱柱高为2h，则D1(2，2，2h),
C1(2,0,2h).
设平面ACD1的法向量为n=(x,y,
z)，因为AC=(2，−1，0),AD=(2,
1，2h)，所以
n.AC=0,
{n.AD,=0,
所以
{22xx−+yy+=02h,z=0.
取x=h，则y=2h，z=−2.所以
n=(h，2h，−2)是平面ACD1的一个
法向量.
设M(0,0,k)，则CM=(−2,0，,
k−2h).由ClM//平面ACD知，CM.
n==−2h−2(k−2h)=0,即k=h,得
M(O，O，h)，故M为BB1的中点.
(2)设平面ACM的法向量为m=
(x1,y1,z1)，则
m.AC=0,
{m.AM=0,
所以
{2−xy1−1+yh1z=10=,0.
取x1=h，得y1=2h，N1=2.所以
m=(h，2h，2)是平面ACM的一个法
向量.
所以
|cos＜m,n＞|=$\frac{|h²+4h²−41}{5h²+4.√5h²+4}$
=cos60°=$\frac{1}{2}$,
解得h=$\frac{2}{5}$√15或$\frac{2}{15}$√15，所以DD1的长
为$\frac{4}{5}$$\sqrt{15}$或$\frac{4}{15}$$\sqrt{15}$
评析:在需要确定动点位置的立体几
何问题中，用向量方法处理往往比用综合
几何方法简便.用向量法解决这类几何问
题的一般步骤是建立空间直角坐标系，设
参数并写出各点的坐标，将几何问题转化
为向量运算问题，将运算的结果“翻译”
成相应的几何意义.