《2025年人教金学典同步练习册同步解析与测评高中数学选择性必修第一册人教版》

例 如图1.4−4，在直三棱柱ABC−
AlBlC1中，△ABC为等腰直角三角形，
∠ACB=90°，侧棱AA1=2，CA=2，D
是CC1的中点.

(1)求点A1到直线BD的距离;
(2)在线段A1B(不包括端点)上是
否存在一点E，使得点A1到平面AED
的距离为$\frac{2\sqrt{6}}{3}$?

答案： 分析:
(1)在空间直角坐标系中，棱
柱上各点的坐标均可表示出，根据点到直
线的距离公式可得到点A1到直线BD的
距离.
(2)将点E的坐标用参数λ表示，
进而得出AE的坐标，并用λ表示平面
AED的法向量.然后借助点到平面的距离
公式，得到一个含λ的方程，那么只需要
判断方程是否有解，即可判断点E是否
存在.
解:如图1.4−4，以C为原点，CA，
CB，CC1所在直线分别为x轴、y轴、N
轴，建立空间直角坐标系，则A(2，0,
0),A1(2,0,2),B(0,2,0),D(0,
0,1),所以BD=(0，−2,1),AD=
(−2,0,−1),A____D=(−2,0,1).
(1)取a=A1D=(−2，0，−1),
因为BD=(0，−2，1)，取直线BD的
单位方向向量u=(0，−,$\frac{2}{5}$,,$\frac{1}{5}$).所以，,
点A1到直线BD的距离为
$\sqrt{a²−(a.u)²}$=/5−$\frac{1}{5}$=$\frac{2\sqrt{30}}{5}$.
(2)由题意可设E(λ，2−λ，λ)，所
以AE=(λ−2,2−λ,λ),λ∈(0,2).
设平面AED的法向量为n=(x，y,
z)，则n⊥AD，n⊥AE，所以
n.AD=0,
{n.AE=0,
所以
{−(λ2−x2+)xz+=0(2,−λ)y+λz=0.
取x=1，则x=2,y=$\frac{3入−2}{入−2}$.
所以，n=(1,3λλ−−22,2{是平面
AED的一个法向量.
又因为AD=(−2，0，−1)，所以
点A1到平面AED的距离为
$\frac{|AD.n|}{n}$
|4(λ−2)|
$\sqrt{(a−2)²+(3x−2)²+4(a−2)²}$
令$\sqrt{(a−2)²+(3−2)²+4(a−2)²}$|4(λ−2)|
$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，解得λ=0(舍去)或λ=1.
所以，当点E的坐标为(1，1，1)，
即点E为线段A1B的中点时，点A1到平
面AED的距离为$\frac{2√6}{3}$.
评析:建立空间直角坐标系后，确定
各点的坐标是用向量方法求解空间距离问
题的基础，第
(2)题需要在平面AED内
适当选取一点，除了解答中选取的点D，
也可以选点A，本例中确定点E的坐标是
关键.解决这类问题时，通常先假设满足
要求的点E存在，并用参数表示点E的坐
标，进而用这个参数表示有关向量，再借
助点到平面的距离公式和已知条件，得到
一个含参数的方程，那么只需要判断方程
是否有解，即可判断点E是否存在.