《2025年新目标检测同步单元测试卷七年级数学上册人教版》

22. (11分)【概念学习】定义新运算：求若干个相同的有理数(均不等于$0$)的商的运算叫作除方. 比如$2÷2÷2$，$(-3)÷(-3)÷(-3)÷(-3)$等，类比有理数的乘方，我们把$2÷2÷2$写作$2^{\circledcirc3}$，读作“$2$的圈$3$次方”，$(-3)÷(-3)÷(-3)÷(-3)$写作$(-3)^{\circledcirc4}$，读作“$(-3)$的圈$4$次方”. 一般地，把$\underbrace{a÷a÷a÷·s÷a}_{n个a}$记作$a^{\circledcirc n}$，读作“$a$的圈$n$次方”. 特别地，规定：$a^{\circledcirc1} = a$.
【初步探究】(1)直接写出计算结果：$2023^{\circledcirc2} =$1.
(2)若$n$为任意正整数，则下列关于除方的说法中，正确的有①②④.(横线上填写序号)
①任何非零数的圈$2$次方都等于$1$；
②任何非零数的圈$3$次方都等于它的倒数；
③圈$n$次方等于它本身的数是$1$或$-1$；
④负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数.
【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？
(3)请把有理数$a(a\neq0)$的圈$n(n\geqslant3)$次方写成幂的形式：$a^{\circledcirc n} =$$(\frac{1}{a})^{n - 2}$.
(4)计算：$-1^{\circledcirc8} - 14^{2}÷(-\frac{1}{2})^{\circledcirc4}×(-7)^{\circledcirc6}$.

答案： 22.解:
(1)$2023^{2\otimes}=2023÷2023 = 1$。
(2)①因为$a^{2\otimes}=a÷ a = 1(a\neq0)$，所以任何非零数的圈2次方都等于1，正确；
②因为$a^{3\otimes}=a÷ a÷ a=\frac{1}{a}(a\neq0)$，所以任何非零数的圈3次方都等于它的倒数，正确；
③圈$n$次方等于它本身的数是1或$-1$，说法错误，如$(-1)^{2\otimes}=1$；
④根据新定义以及有理数的乘除法法则可知，负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数，正确。
故答案为①②④。
(3)$a^{n\otimes}=a÷ a÷ a÷·s÷ a=a·\frac{1}{a}·\frac{1}{a}·\frac{1}{a}·s\frac{1}{a}$（$(n - 1)$个）
$=(\frac{1}{a})^{n - 2}$。
(4)原式$=-1 - 196÷4×\frac{1}{7^{4}}=-1 - 49×\frac{1}{2401}=-1-\frac{1}{49}=-1\frac{1}{49}$。