《2025年学习检测八年级数学上册华师大版河南专版》

13. 如图,在 $ \triangle ABC $ 中, $ \angle C = 90^{\circ} $, $ AC = 11 $。
(1) 请用无刻度的直尺和圆规在边 $ BC $ 上求作一点 $ D $,使 $ S_{\triangle ABD} : S_{\triangle ACD} = AB : AC $；(保留作图痕迹,不写作法)
(2) 在(1)所作的图形中,过点 $ D $ 作 $ DE \perp AB $ 于点 $ E $,若 $ CD = 4 $, $ S_{\triangle ABD} = 30 $,求 $ BE $ 的长。
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答案：

(1)如图,作∠BAC的平分线，交BC于点D,则点D即为所求作的点
(2)由条件可知,DC=DE=4.在Rt△ACD和Rt△AED中，
∵ {AD=AD，DC=DE}，
∴Rt△ACD≌Rt△AED.
∴AE=AC=11.
∵S△ABD=$\frac{1}{2}$AB×DE=30,
∴AB=15.
∴BE=AB−AE=4

14. 如图, $ \angle ABC $ 和 $ \angle ACD $ 的平分线相交于点 $ E $,过点 $ E $ 作 $ EG \perp BA $ 交 $ BA $ 的延长线于点 $ G $, $ EF \perp AC $ 交 $ AC $ 于点 $ F $。
(1) 求证： $ EG = EF $；
(2) 连结 $ AE $,求证： $ \angle AEG = \angle AEF $。
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答案：

(1)过点E作EH⊥BD于点H.
∵BE平分∠ABC,EG⊥BA,EH⊥BD,
∴EG=EH.
∵CE平分∠ACD,EF⊥AC,EH⊥CD,
∴EF=EH.
∴EG=EF
(2)
∵EG⊥BA,EF⊥AC,
∴∠AGE=90°=∠AFE.在Rt△AEG和Rt△AEF中，
∵ {EG=EF，AE=AE}，
∴Rt△AEG≌Rt△AEF.
∴∠AEG=∠AEF