《2025年学习检测八年级数学上册华师大版河南专版》

15. 图①是一个平分角的仪器,其中 $ OD = OE $, $ FD = FE $。
(1) 如图②,将仪器放置在 $ \triangle ABC $ 上,使点 $ O $ 与顶点 $ A $ 重合, $ D $、 $ E $ 分别在边 $ AB $、 $ AC $ 上,沿 $ AF $ 作一条射线 $ AP $,交 $ BC $ 于点 $ P $。 $ AP $ 是 $ \angle BAC $ 的平分线吗？请判断并说明理由。
(2) 如图③,在(1)的条件下,过点 $ P $ 作 $ PQ \perp AB $ 于点 $ Q $,若 $ PQ = 6 $, $ AC = 9 $, $ \triangle ABC $ 的面积是 60,求 $ AB $ 的长。

答案：

(1)AP是∠BAC的平分线.理由如下:在△ADF和△AEF中，
∵ {AD=AE，FD=FE，AF=AF}，
∴△ADF≌△AEF.
∴∠DAF=∠EAF.
∴AP平分∠BAC
(2)如图，过点P作PG⊥AC于点G.
∵AP平分∠BAC,PQ⊥AB,
∴PG=PQ=6.
∵S△ABC=S△ABP+S△APC=$\frac{1}{2}$AB·PQ+$\frac{1}{2}$AC·PG,
∴$\frac{1}{2}$AB×6+$\frac{1}{2}$×9×6=60.
∴AB=11