《2025年学习检测八年级数学上册华师大版河南专版》

3. 到三角形各边距离相等的点是三角形的【C】
A.三条边的垂直平分线的交点
B.三条中线的交点
C.三条内角平分线的交点
D.三条高的交点

答案： C

4. 如图, $ OP $ 平分 $ \angle AOB $, $ PC \perp OA $,点 $ D $ 是射线 $ OB $ 上的动点,若 $ PC = 3 $,则 $ PD $ 的长的最小值为3。

答案： 3

5. 如图, $ AD $ 是 $ \triangle ABC $ 的角平分线, $ DE \perp AB $ 于点 $ E $, $ \triangle ADC $ 的面积为 9, $ DE = 2 $,则 $ AC $ 的长是9。

答案： 9

6. (赤峰期中)如图,射线 $ OC $ 是 $ \angle AOB $ 的平分线, $ D $ 为射线 $ OC $ 上一点, $ DP \perp OA $ 于点 $ P $, $ PD = 8 $。若点 $ Q $ 是射线 $ OB $ 上一点, $ OQ = 10 $,则 $ \triangle ODQ $ 的面积为______40。

答案： 40

7. 如图, $ OC $ 是 $ \angle AOB $ 内的一条射线, $ D $ 是 $ OC $ 上一点,过点 $ D $ 作 $ DE \perp OA $ 于点 $ E $, $ DF \perp OB $ 于点 $ F $, $ OE = OF $。求证： $ OC $ 是 $ \angle AOB $ 的平分线。

答案：
∵DE⊥OA于点E,DF⊥OB于点F,
∴∠DEO=∠DFO=90°.在Rt△EOD与Rt△FOD中，
∵ {OE=OF，OD=OD}，
∴Rt△EOD≌Rt△FOD.
∴∠EOD=∠FOD,即OC是∠AOB的平分线

8. 如图, $ BD $ 是 $ \angle ABC $ 的平分线, $ AB = CB $,点 $ P $ 在 $ BD $ 上, $ PM \perp AD $, $ PN \perp CD $,垂足分别为点 $ M $、 $ N $。求证： $ PM = PN $。

答案： 解：
因为$BD$是$\angle ABC$的平分线，所以$\angle ABD=\angle CBD$。
在$\triangle ABD$和$\triangle CBD$中，$\begin{cases}AB = CB\\\angle ABD=\angle CBD\\BD = BD\end{cases}$，根据$SAS$（边角边）定理可得$\triangle ABD\cong\triangle CBD$。
所以$\angle ADB=\angle CDB$。
因为$PM\perp AD$，$PN\perp CD$，$P$在$BD$上，根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。
所以$PM = PN$。