《2025年学习检测八年级数学上册华师大版河南专版》

15. 在$\triangle ABC$中,$AB = AC$,$∠BAC = 120^{\circ}$,$AD \perp BC$,垂足为$G$,且$AD = AB$,$∠EDF = 60^{\circ}$,其两边$DE$、$DF分别交边AB$、$AC于点E$、$F$.求证：
(1) $\triangle ABD$是等边三角形；
(2) $BE = AF$.

答案： （1）
∵ AB=AC，AD⊥BC，
∴ ∠BAD=∠DAC=$\frac{1}{2}$∠BAC.
∵ ∠BAC=120°，
∴ ∠BAD=∠DAC=$\frac{1}{2}×120°=60°$.
∵ AD=AB，
∴ △ABD是等边三角形 （2）
∵ △ABD是等边三角形，
∴ ∠ABD=∠ADB=60°，BD=AD.
∵ ∠EDF=60°，
∴ ∠ADB=∠EDF.
∴ ∠ADB-∠ADE=∠EDF-∠ADE.
∴ ∠BDE=∠ADF. 在△BDE与△ADF中，
∵ $\begin{cases} ∠DBE=∠DAF=60°, \\ BD=AD, \\ ∠BDE=∠ADF, \end{cases}$
∴ △BDE≌△ADF.
∴ BE=AF

16. (沈丘期中)如图,在$\triangle ABC$中,$∠BAC = 90^{\circ}$,$BE平分∠ABC$,$AM \perp BC于点M$,交$BE于点G$,$AD平分∠MAC$,交$BC于点D$,交$BE于点F$.
(1) 求证：$\triangle ABD$是等腰三角形.
(2) 若$∠C = 30^{\circ}$,图中是否存在等边三角形？若存在,请写出并证明；若不存在,请说明理由.

答案： （1）
∵ AM⊥BC，
∴ ∠ABC+∠5=90°.
∵ ∠BAC=90°，
∴ ∠ABC+∠C=90°.
∴ ∠5=∠C.
∵ AD平分∠MAC，
∴ ∠3=∠4. 又
∵ ∠BAD=∠5+∠3，∠ADB=∠C+∠4，∠5=∠C，
∴ ∠BAD=∠ADB.
∴ △ABD是等腰三角形 （2）△ABD、△AEG是等边三角形. 理由如下：
∵ ∠C=30°，∠BAC=90°，
∴ ∠ABD=60°. 又
∵ △ABD是等腰三角形，
∴ △ABD是等边三角形.
∵ BE平分∠ABC，
∴ ∠1=∠2=30°.
∴ 在Rt△BGM中，∠BGM=60°=∠AGE；在Rt△ABE中，∠AEB=60°.
∵ 在Rt△ACM中，∠C=30°，
∴ ∠CAM=60°.
∴ ∠AEG=∠AGE=∠EAG.
∴ △AEG是等边三角形