《2025年学习检测八年级数学上册华师大版河南专版》

17. 先化简,再求值:$(2a + b)^2 - (2a - b)(a + b) - 2(a - 2b)(a + 2b)$,其中$a = \frac{1}{2}$,$b = -2$。

答案： 原式$=3ab+10b^{2}$.当$a=\frac {1}{2},b=-2$时,原式$=3×\frac {1}{2}×(-2)+10×(-2)^{2}=37$

18. 【发现】任意五个连续整数的平方和是$5$的倍数.
【验证】(1) $(-1)^2 + 0^2 + 1^2 + 2^2 + 3^2的结果是5$的几倍?
(2) 设五个连续整数的中间一个为$n$,写出它们的平方和,并说明它是$5$的倍数.

答案：
(1)$\because (-1)^{2}+0^{2}+1^{2}+2^{2}+3^{2}=1+0+1+4+9=15,15÷5=3$,
∴ 结果是5的3倍
(2)
∵ 五个连续整数的中间一个为n,
∴ 其余的4个整数分别是:$n-2,n-1,n+1,n+2$.它们的平方和为:$(n-2)^{2}+(n-1)^{2}+n^{2}+(n+1)^{2}+(n+2)^{2}=n^{2}-4n+4+n^{2}-2n+1+n^{2}+n^{2}+2n+1+n^{2}+4n+4=5n^{2}+10=5(n^{2}+2)$.$\because n$是整数,$\therefore n^{2}+2$是整数.
∴ 五个连续整数的平方和是5的倍数