《2025年学习检测八年级数学上册华师大版河南专版》

11. 计算 $ p^{8} ÷ [p^{4} ÷ (-p)^{2}] $ 的结果是 【D】
A.$ 1 $
B.$ p^{2} $
C.$ p $
D.$ p^{6} $

答案： D

12. 下列各式中,计算正确的是 【D】
A.$ x^{6} ÷ x^{3} = x^{2} $
B.$ x^{6} - x^{3} = x^{3} $
C.$ (-x)^{4} ÷ (-x)^{2} = -x^{2} $
D.$ x^{2n} ÷ x^{n} = x^{n} $

答案： D

13. 下列各式中,计算正确的是 【D】
A.$ a^{3} ÷ a = a^{3} $
B.$ (-c)^{4} ÷ (-c)^{2} = -c^{2} $
C.$ (xy)^{5} ÷ xy^{3} = (xy)^{2} $
D.$ x^{6} ÷ (x^{4} ÷ x^{2}) = x^{4} $

答案： D

14. 填空：(1) $ x^{m - 1} \cdot \underline{$x^{n+1}$} = x^{m + n} $；
(2) $ 16^{m} ÷ 4^{m} ÷ 2 = \underline{$2^{2m-1}$} $。

答案：
(1)$x^{n+1}$
(2)$2^{2m-1}$

15. (新野期中)已知 $ a^{m} = 6 $,$ a^{m + n} = 18 $,则 $ a^{m - n} = \underline{\quad2\quad} $。

答案： 2

16. 计算：
(1) $ (2x)^{6} ÷ (-2x)^{3} $；
(2) $ (-m^{2}n)^{5} ÷ (-m^{2}n)^{3} $；
(3) $ (-y^{3})^{4} ÷ (-y^{2})^{3} \cdot y^{6} $；
(4) $ (-a)^{7} ÷ a^{3} \cdot (-a)^{2} $。

答案： 1. （1）
解：
根据幂的乘方公式$(a^m)^n = a^{mn}$和同底数幂的除法公式$a^m÷ a^n=a^{m - n}(a\neq0,m,n$是正整数，$m\gt n)$。
先计算$(2x)^{6}=2^{6}x^{6}=64x^{6}$，$(-2x)^{3}=(-2)^{3}x^{3}=-8x^{3}$。
则$(2x)^{6}÷(-2x)^{3}=\frac{(2x)^{6}}{(-2x)^{3}}=\frac{2^{6}x^{6}}{(-2)^{3}x^{3}}$。
根据$\frac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m - n}$，$\frac{2^{6}}{(-2)^{3}}=\frac{2^{6}}{-2^{3}}=-2^{6 - 3}=-2^{3}$，$\frac{x^{6}}{x^{3}}=x^{6 - 3}=x^{3}$。
所以$(2x)^{6}÷(-2x)^{3}=-8x^{3}$。
2. （2）
解：
根据同底数幂的除法公式$a^m÷ a^n=a^{m - n}(a\neq0)$，这里$a = -m^{2}n$，$m = 5$，$n = 3$。
则$(-m^{2}n)^{5}÷(-m^{2}n)^{3}=(-m^{2}n)^{5 - 3}=(-m^{2}n)^{2}$。
再根据积的乘方公式$(ab)^n=a^nb^n$，$(-m^{2}n)^{2}=(-1)^{2}(m^{2})^{2}n^{2}=m^{4}n^{2}$。
3. （3）
解：
先根据幂的乘方公式：
$(-y^{3})^{4}=y^{12}$，$(-y^{2})^{3}=-y^{6}$。
则$(-y^{3})^{4}÷(-y^{2})^{3}\cdot y^{6}=y^{12}÷(-y^{6})\cdot y^{6}$。
根据同底数幂的除法公式$a^m÷ a^n=a^{m - n}$，$y^{12}÷(-y^{6})=-y^{12 - 6}=-y^{6}$。
再根据同底数幂的乘法公式$a^m\cdot a^n=a^{m + n}$，$-y^{6}\cdot y^{6}=-y^{6 + 6}=-y^{12}$。
4. （4）
解：
先根据幂的乘方公式$(-a)^{7}=-a^{7}$，$(-a)^{2}=a^{2}$。
则$(-a)^{7}÷ a^{3}\cdot(-a)^{2}=-a^{7}÷ a^{3}\cdot a^{2}$。
根据同底数幂的除法公式$a^m÷ a^n=a^{m - n}$，$-a^{7}÷ a^{3}=-a^{7 - 3}=-a^{4}$。
再根据同底数幂的乘法公式$a^m\cdot a^n=a^{m + n}$，$-a^{4}\cdot a^{2}=-a^{4+2}=-a^{6}$。
综上，答案依次为：（1）$-8x^{3}$；（2）$m^{4}n^{2}$；（3）$-y^{12}$；（4）$-a^{6}$。

17. (1) 已知 $ a^{m} = 4 $,$ a^{n} = 8 $,求 $ a^{3m - 2n} $ 的值；
(2) 已知 $ 4^{m + 3} × 8^{m + 1} ÷ 2^{4m + 7} = 16 $,求 $ m $ 的值。

答案： $(1)$ 求$a^{3m - 2n}$的值
解：
根据同底数幂的运算法则：$a^{m-n}=\frac{a^m}{a^n}$，$(a^m)^n = a^{mn}$。
对于$a^{3m}$，根据$(a^m)^n = a^{mn}$，可得$a^{3m}=(a^m)^3$，已知$a^m = 4$，则$a^{3m}=4^3 = 64$。
对于$a^{2n}$，根据$(a^m)^n = a^{mn}$，可得$a^{2n}=(a^n)^2$，已知$a^n = 8$，则$a^{2n}=8^2 = 64$。
再根据$a^{m-n}=\frac{a^m}{a^n}$，则$a^{3m - 2n}=\frac{a^{3m}}{a^{2n}}$。
把$a^{3m}=64$，$a^{2n}=64$代入可得：$a^{3m - 2n}=\frac{64}{64}=1$。
$(2)$ 求$m$的值
解：
先将$4$，$8$都转化为以$2$为底数的幂：
因为$4 = 2^2$，所以$4^{m + 3}=(2^2)^{m + 3}$，根据$(a^m)^n = a^{mn}$，可得$(2^2)^{m + 3}=2^{2(m + 3)}=2^{2m + 6}$。
因为$8 = 2^3$，所以$8^{m + 1}=(2^3)^{m + 1}$，根据$(a^m)^n = a^{mn}$，可得$(2^3)^{m + 1}=2^{3(m + 1)}=2^{3m + 3}$。
则$4^{m + 3}×8^{m + 1}÷2^{4m + 7}$可转化为：
$2^{2m + 6}×2^{3m + 3}÷2^{4m + 7}$
根据同底数幂的运算法则：$a^m× a^n=a^{m + n}$，$a^m÷ a^n=a^{m - n}$，则：
$2^{2m + 6}×2^{3m + 3}÷2^{4m + 7}=2^{(2m + 6)+(3m + 3)-(4m + 7)}$
$=2^{2m + 6 + 3m + 3 - 4m - 7}$
$=2^{m + 2}$
已知$4^{m + 3}×8^{m + 1}÷2^{4m + 7}=16$，而$16 = 2^4$，所以$2^{m + 2}=2^4$。
因为指数相等时，底数相同的幂相等，所以$m + 2 = 4$，解得$m = 4 - 2=2$。
综上，答案依次为：$(1)$$\boldsymbol{1}$；$(2)$$\boldsymbol{2}$。