《2025年学习检测八年级数学上册华师大版河南专版》

13. 如图,$\triangle ABC的两条高AD$、$CE相交于点F$,$AF= BC$。
(1)求证：$\triangle AEF\cong\triangle CEB$；
(2)若$BE= 4$,$CF= 5$,求$AE$的长。

答案：
(1)由题意,得∠BEC=∠FEA=90°.
∴∠BCE+∠B=∠FAE+∠B=90°.
∴∠BCE=∠FAE.在△AEF和△CEB中,
∵{∠FAE=∠BCE,∠AEF=∠CEB,AF=CB},
∴△AEF≌△CEB
(2)由
(1)知,△AEF≌△CEB,
∴EF=EB=4,AE=CE.
∴AE=CE=CF+EF=9

14. 如图,$AB$、$CD相交于点P$,连结$AC$、$BD$,$M$、$N分别为BP和BD$上的点,且$MN// CD$,$\angle C+\angle MND= 180^{\circ}$。
(1)若$CP= MN$,求证：$\triangle ACP\cong\triangle BNM$；
(2)在(1)的条件下,若$AB= 7$,$AP= 3$,求$PM$的长。

答案：
(1)
∵MN//CD,
∴∠BMN=∠BPD.
∵∠BPD=∠APC,
∴∠BMN=∠APC.
∵∠C+∠MND=180°,∠BNM+∠MND=180°,
∴∠C=∠BNM.在△ACP和△BNM中，
∵{∠C=∠BNM,CP=MN,∠APC=∠BMN},
∴△ACP≌△BNM
(2)由
(1)知,△ACP≌△BNM,
∴BM=AP=3.
∵AB=7,
∴PM=AB−AP−BM=1