《2025年学习力提升九年级数学上册浙教版》

14. 如图,在圆内接四边形 $ABCD$ 中,$AB = AD$,$AC = 1$,$\angle ACD = 60^{\circ}$,则四边形的面积为$\sqrt{3}$.

答案： 解析:过 A 作 $AE\perp BC$ 于 E, $AF\perp CD$ 于 F.
$\because \angle ADF+\angle ABC=180^{\circ}$(圆的内接四边形对角之和为 $180^{\circ}$), $\angle ABE+\angle ABC=180^{\circ}$,
$\therefore \angle ADF=\angle ABE$.
$\because \angle ABE=\angle ADF$, $AB=AD$, $\angle AEB=\angle AFD$,
$\therefore \triangle AEB\cong \triangle AFD$,
$\therefore$四边形 ABCD 的面积=四边形 AECF 的面积, $AE=AF$.
又 $\because \angle E=\angle AFC=90^{\circ}$, $AC=AC$,
$\therefore Rt\triangle AEC\cong Rt\triangle AFC$.
$\because \angle ACD=60^{\circ}$, $\angle AFC=90^{\circ}$,
$\therefore \angle CAF=30^{\circ}$,
$\therefore CF=\frac{1}{2}$, $AF=\sqrt{3}$,
$\therefore$四边形 ABCD 的面积 $=2S_{\triangle ACF}=2× \frac{1}{2}× CF× AF=\sqrt{3}$.

15. 如图,四边形 $ABCD$ 是 $\odot O$ 的内接四边形,点 $F$ 是 $CD$ 延长线上的一点,且 $AD$ 平分 $\angle BDF$,$AE\perp CD$ 于点 $E$.
(1)求证：$AB = AC$；

(2)若 $BD = 11$,$DE = 2$,求 $CD$ 的长.

答案：
(1)证明:$\because AD$平分$\angle BDF$,
$\therefore \angle ADF=\angle ADB$,
$\because \angle ABC+\angle ADC=180^{\circ}$,
$\angle ADC+\angle ADF=180^{\circ}$,
$\therefore \angle ADF=\angle ABC$,
$\because \angle ACB=\angle ADB$,
$\therefore \angle ABC=\angle ACB$,
$\therefore AB=AC$.
(2)解:过点 A 作 $AG\perp BD$,垂足为点 G,
$\because AD$平分$\angle BDF$, $AE\perp CF$, $AG\perp BD$,
$\therefore AG=AE$, $\angle AGB=\angle AEC=90^{\circ}$,
在 $Rt\triangle AED$ 和 $Rt\triangle AGD$ 中,
$AE=AG$, $AD=AD$,
$\therefore Rt\triangle AED\cong Rt\triangle AGD$,
$\therefore GD=ED=2$;
在 $Rt\triangle AEC$ 和 $Rt\triangle AGB$ 中,
$AE=AG$, $AB=AC$,
$\therefore Rt\triangle AEC\cong Rt\triangle AGB(HL)$,
$\therefore BG=CE$,
$\because BD=11$,
$\therefore BG=BD - GD=11 - 2=9$,
$\therefore CE=BG=9$,
$\therefore CD=CE - DE=9 - 2=7$.