《2025年学习力提升九年级数学上册浙教版》

13. 某菜场指导菜农生产和销售某种蔬菜,提供如下信息：
①统计售价与需求量的数据,通过描点(图 1),发现该蔬菜需求量 $ y_{需求} $(吨)关于售价 $ x $(元/千克)的函数图象可以看成抛物线,其表达式为 $ y_{需求} = ax^{2}+c $,部分对应值如下表：

②该蔬菜供给量 $ y_{供给} $(吨)关于售价 $ x $(元/千克)的函数表达式为 $ y_{供给} = x - 1 $,函数图象见图 1.
③ $ 1\sim7 $ 月份该蔬菜售价 $ x_{售价} $(元/千克)、成本 $ x_{成本} $(元/千克)关于月份 $ t $ 的函数表达式分别为 $ x_{售价}= \frac{1}{2}t + 2,x_{成本}= \frac{1}{4}t^{2}-\frac{3}{2}t + 3 $,函数图象见图 2.


请解答下列问题：
(1)求 $ a,c $ 的值.
(2)根据图 2 判断哪个月出售这种蔬菜每千克获利最大.并说明理由.
(3)求该蔬菜供给量与需求量相等时的售价,以及按此价格出售获得的总利润.

答案：
(1)将$x=3$，$y=7.2$和$x=4$，$y=5.8$代入$y_{需求}=ax^2 + c$，得：
$\begin{cases}9a + c = 7.2 \\16a + c = 5.8\end{cases}$
解得$a=-0.2$，$c=9$。
(2)每千克获利$w=x_{售价}-x_{成本}=(\frac{1}{2}t + 2)-(\frac{1}{4}t^2 - \frac{3}{2}t + 3)=-\frac{1}{4}t^2 + 2t - 1$。
对称轴$t=-\frac{2}{2×(-\frac{1}{4})}=4$，开口向下，$t=4$时$w$最大，故4月。
(3)令$y_{供给}=y_{需求}$，即$x - 1=-0.2x^2 + 9$，整理得$x^2 + 5x - 50=0$，解得$x=5$（$x=-10$舍）。
此时$y=5 - 1=4$吨$=4000$千克。
$x=5$时，由$x_{售价}=\frac{1}{2}t + 2$得$t=6$，$x_{成本}=\frac{1}{4}×6^2 - \frac{3}{2}×6 + 3=3$。
总利润$=(5 - 3)×4000=8000$元。
售价5元/千克，总利润8000元。