《2025年学习力提升九年级数学上册浙教版》

7. 课本中有一个例题：
如图1中窗户边框的上部分是由 $ 4 $个全等扇形组成的半圆,下部分是矩形.如果制作一个窗户边框的材料的总长度为 $ 6 \, m $,那么如何设计这个窗户边框的尺寸,使透光面积最大(结果精确到 $ 0.01 \, m $)?
这个例题的答案是：当窗户半圆的半径约为 $ 0.35 \, m $,窗框矩形部分的另一边长约为 $ 1.23 \, m $时,窗户的透光面积最大,最大值约为 $ 1.05 \, m^{2} $.如果我们改变这个窗户的形状,上部分改为由两个正方形组成的矩形,如图2,材料的总长度仍为 $ 6 \, m $,利用图3,解答下列问题：

(1)若 $ AB $为 $ 1 \, m $,求此时窗户的透光面积；
(2)与课本中的例题比较,改变窗户形状后,窗户透光面积的最大值有没有变大? 请通过计算说明.

答案： 解:
(1)$\because AB=1$,$\therefore DF=CE=\frac{1}{2}$,
$\therefore AD=\frac{1}{2}×(6-3×1-\frac{1}{2})=\frac{5}{4}$,
$\therefore S=AD\cdot AB=\frac{5}{4}×1=\frac{5}{4}$.
故此时窗户的透光面积为$\frac{5}{4}(m^{2})$.
(2)设$AB=x$,则$FE=DC=x$,$DF=CE=\frac{1}{2}x$,
$\therefore AD=\frac{1}{2}(6-3x-\frac{1}{2}x)=(3-\frac{7}{4}x)$;
$\because AD＞DF$,
$\therefore3-\frac{7}{4}x＞\frac{1}{2}x$,解得$x＜\frac{4}{3}$,
$\therefore x$的取值范围为$0＜x＜\frac{4}{3}$;
由题意得窗户的透光面积$S=AD\cdot AB=(3-\frac{7}{4}x)\cdot x=-\frac{7}{4}x^{2}+3x=-\frac{7}{4}(x-\frac{6}{7})^{2}+\frac{9}{7}$;
当$x=\frac{6}{7}$时,满足$0＜x＜\frac{4}{3}$,
$\therefore S_{最大值}=\frac{9}{7}＞1.05$,故窗户透光面积的最大值变大了.

8. 正方形的边长为 $ 2 $,若边长增加 $ x $,那么面积增加 $ y $,则 $ y $关于 $ x $的函数表达式为$y=x^{2}+4x$。

答案： $y=x^{2}+4x$