《2025年学习力提升九年级数学上册浙教版》

11. 已知二次函数 $ y = -x^{2}+ax + 1(a\neq0) $,
(1)当 $ a = 2 $ 时,①求该二次函数图象的顶点坐标；②当 $ 0\leqslant x\leqslant3 $ 时,求 $ y $ 的取值范围；
(2)若 $ A(a - 2,b),B(a,c) $ 两点都在这个二次函数的图象上,且 $ b\lt c $,求 $ a $ 的取值范围.

答案： 解:
(1)①把a=2代入得y=-x²+2x+1=-(x-1)²+2,抛物线的顶点坐标为(1,2);②y=-x²+2x+1的开口向下,对称轴为直线x=1,当x=1时,y取得最大值2.当0≤x≤1时,y随x的增大而增大;当1≤x≤3时,y随x的增大而减小,3比0离开对称轴的距离更大,故当x=3时,y取得最小值-2,因此,当0≤x≤3时,-2≤y≤2.
(2)二次函数y=-x²+ax+1的对称轴为x=$\dfrac{a}{2}$,开口向下,由题意得,$\left|\dfrac{a}{2}-(a-2)\right|＞\left|a-\dfrac{a}{2}\right|$,解得a＜2,且a≠0.

12. 设二次函数 $ y = ax^{2}+bx + 1,(a\neq0,b $ 是实数).已知函数值 $ y $ 和自变量 $ x $ 的部分对应取值如下表所示：

(1)若 $ m = 4 $,求二次函数的表达式；
(2)写出一个符合条件的 $ x $ 的取值范围,使得 $ y $ 随 $ x $ 的增大而减小；
(3)若在 $ m,n,p $ 这三个实数中,只有一个是正数,求 $ a $ 的取值范围.

答案： 解:
(1)把(-1,4),(2,1)代入y=ax²+bx+1,得$\left\{\begin{array}{l}a-b+1=4\\4a+2b+1=1\end{array}\right.$,解得:$\left\{\begin{array}{l}a=1\\b=-2\end{array}\right.$,
∴y=x²-2x+1.
(2)
∵(0,1),(2,1)在y=ax²+bx+1图象上,
∴抛物线的对称轴为直线x=$\dfrac{0+2}{2}$=1,
∴当a＞0时,则x＜1时,y随x的增大而减小,当a＜0时,则x＞1时,y随x的增大而减小.
(3)把(2,1)代入y=ax²+bx+1,得1=4a+2b+1,
∴b=-2a
∴y=ax²+bx+1=ax²-2ax+1把(-1,m)代入y=ax²-2ax+1得,m=a+2a+1=3a+1,把(1,n)代入y=ax²-2ax+1得,n=a-2a+1=-a+1,把(3,p)代入y=ax²-2ax+1得,p=9a-6a+1=3a+1,
∴m=p,
∵m、n、p这三个实数中,只有一个是正数,
∴$\left\{\begin{array}{l}-a+1＞0\\3a+1≤0\end{array}\right.$,解得:a≤-$\dfrac{1}{3}$.