《2025年学习力提升九年级数学上册浙教版》

11. 如图,已知 $AB$ 为半圆 $O$ 的直径,$AC$,$AD$ 为弦,且 $AD$ 平分 $\angle BAC$.
(1) 若 $\angle ABC= 28^{\circ}$,求 $\angle CBD$ 的度数；
(2) 若 $AB= 6$,$AC= 2$,求 $AD$ 的长.

答案：

(1)
∵AB 是半圆 O 的直径，
∴∠C=∠ADB=90°，
∴∠BAC=90° - 28°=62°.
∵AD 平分∠BAC，
∴∠CAD= $\frac{1}{2}$∠BAC=31°，
∴∠CBD=∠CAD=31°.
(2)连结 OD 交 BC 于点 E，如图. 在 Rt△ACB 中，BC= $\sqrt{6^2 - 2^2}$=4$\sqrt{2}$，
∵AD 平分∠BAC，
∴∠CAD=∠BAD，
∴$\widehat{CD}$=$\widehat{BD}$，
∴OD⊥BC，
∴BE=CE= $\frac{1}{2}$BC=2$\sqrt{2}$，又
∵OA=OB，
∴OE= $\frac{1}{2}$AC= $\frac{1}{2}$×2=1，
∴DE=OD - OE=3 - 1=2；在 Rt△BDE 中，BD= $\sqrt{2^2 + (2\sqrt{2})^2}$=2$\sqrt{3}$；在 Rt△ABD 中，AD= $\sqrt{6^2 - (2\sqrt{3})^2}$=2$\sqrt{6}$.

12. 如图,半径为 $5$ 的 $\odot A$ 中,弦 $BC$,$ED$ 所对的圆心角分别是 $\angle BAC$,$\angle EAD$,已知 $DE= 6$,$\angle BAC+\angle EAD= 180^{\circ}$,则弦 $BC= $____.

答案：
解：作直径 CF，连结 BF，
∵∠BAC+∠EAD=180°，∠BAC+∠BAF=180°，
∴∠DAE=∠BAF，
∴$\widehat{DE}$=$\widehat{BF}$，
∴DE=BF=6，
∵直径 CF，
∴∠CBF=90°，
∵直径 CF=10，
∴CB=8.

13. 如图,$AB$ 是 $\odot O$ 的直径,$C$ 是 $\overset{\frown}{BD}$ 的中点,$CE\perp AB$ 于点 $E$,$BD$ 交 $CE$ 于点 $F$.
(1) 求证：$CF= BF$；
(2) 若 $CD= 6$,$AC= 8$,求 $\odot O$ 的半径及 $CE$ 的长.

答案：
(1)证明：
∵AB 是⊙O 的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠A=90° - ∠ABC，
∵CE⊥AB，
∴∠CEB=90°，
∴∠BCE=90° - ∠ABC，
∴∠BCE=∠A，
∵C 是$\widehat{BD}$的中点，
∴$\widehat{CD}$=$\widehat{BC}$，
∴∠CBD=∠A，
∴∠CBD=∠BCE，
∴CF=BF.
(2)解：
∵$\widehat{BC}$=$\widehat{CD}$，
∴BC=CD=6.又
∵∠ACB=90°，
∴AB= $\sqrt{BC^2 + AC^2}$= $\sqrt{6^2 + 8^2}$=10，
∴⊙O 的半径为 5.
∵S△ABC= $\frac{1}{2}$AB·CE= $\frac{1}{2}$BC·AC，
∴CE= $\frac{BC·AC}{AB}$= $\frac{6×8}{10}$= $\frac{24}{5}$.