《2025年学习力提升九年级数学上册浙教版》

13. 如图,在矩形 $ ABCD $中,$ AB = 18 \, cm $,$ AD = 4 \, cm $,点 $ P $,$ Q $分别从点 $ A $,$ B $同时出发,点 $ P $在边 $ AB $上以每秒 $ 2 \, cm $的速度向点 $ B $运动,点 $ Q $在边 $ BC $上以每秒 $ 1 \, cm $的速度向点 $ C $运动,当 $ P $,$ Q $中的一点到达终点时,另一点也随之停止运动.设运动时间为 $ x \, s $,$ \triangle PBQ $的面积为 $ y \, cm^{2} $.

(1)求 $ y $关于 $ x $的函数表达式,并写出 $ x $的取值范围；
(2)求 $ \triangle PBQ $的最大面积.

答案： 解:
(1)$\because S_{\triangle PBQ}=\frac{1}{2}PB\cdot BQ$,
$PB=AB-AP=(18-2x)\ cm$,$BQ=x\ cm$,
$\therefore y=\frac{1}{2}(18-2x)x$,
即$y=-x^{2}+9x(0\leqslant x\leqslant4)$.
(2)由
(1)得$y=-(x-\frac{9}{2})^{2}+\frac{81}{4}$,
$\because$当$0\leqslant x\leqslant\frac{9}{2}$时,$y$随$x$的增大而增大,
而$0\leqslant x\leqslant4$,$\therefore$当$x=4$时,函数$y$有最大值 20,
即$\triangle PBQ$的最大面积是$20\ cm^{2}$.

14. 为了节省材料,某农场主利用围墙(围墙足够长)为一边,用总长为 $ 80 \, m $的篱笆围成了如图所示的①②③三块矩形区域,而且这三块矩形区域的面积相等,则围成的矩形区域 $ ABCD $的面积的最大值是300$ m^{2} $.

答案： 300