《2025年学习力提升九年级数学上册浙教版》

13. 如图,MN 是⊙O 的直径,点 A 是半圆上一个三等分点,点 B 是 $ \overset{\LARGE{\frown}}{AN} $ 的中点,点 $ B' $ 是点 B 关于 MN 的对称点,⊙O 的半径为 1,则 $ AB' $ 的长等于 (B)

A.1
B.$ \sqrt{2} $
C.$ \sqrt{3} $
D.2

答案： B

14. 如图,M,N 分别是⊙O 的弦 AB,CD 的中点,$ AB = CD $。
求证：$ \angle AMN = \angle CNM $。

答案： 证明:连结$ON$,$OM$, $\because M$,$N$分别是$\odot O$的弦$AB$,$CD$的中点, $\therefore OM\perp AB$,$ON\perp CD$, $\because AB=CD$, $\therefore OM=ON$, $\therefore \angle OMN=\angle ONM$, $\therefore 90^{\circ}-\angle OMN=90^{\circ}-\angle ONM$, 即$\angle AMN=\angle CNM$.

15. 如图,A,B 是⊙O 上的两点,$ \angle AOB = 120^{\circ} $,C 是 $ \overset{\LARGE{\frown}}{AB} $ 的中点。
(1) 求证：AB 平分 $ \angle OAC $；
(2) 延长 OA 至点 P,使得 $ AP = OA $,连结 PC,若⊙O 的半径 $ R = 1 $,求 PC 的长。

答案：
(1)证明:连结$CO$, $\because \angle AOB=120^{\circ}$,$C$是$\overset{\frown}{AB}$的中点, $\therefore \angle AOC=\overset{\frown}{AC}=\frac{1}{2}\overset{\frown}{AB}=60^{\circ}$, $\because AO=OC$, $\therefore \triangle AOC$是等边三角形, $\therefore \angle OAC=60^{\circ}$, $\because \angle AOB=120^{\circ}$,$AO=OB$, $\therefore \angle OAB=30^{\circ}$, $\therefore \angle OAB=\frac{1}{2}\angle OAC$, $\therefore AB$平分$\angle OAC$.
(2)解:由上题知$\triangle AOC$是等边三角形, 则$OA=AC=OC$,$\angle ACO=60^{\circ}$, $\because AP=AC$, $\therefore \angle P=\angle ACP=\frac{1}{2}\angle OAC=30^{\circ}$, $\angle PCO=\angle ACO+\angle ACP=90^{\circ}$, $\because \odot O$的半径$R=1$, $\therefore OP=2$,$OC=1$, $\therefore PC=\sqrt{3}$.