《2025年学习力提升九年级数学上册浙教版》

13. 如图,在矩形$ABCD$中,点$E$,$F分别在边AD$,$DC$上,$\triangle ABE\backsim\triangle DEF$.若$AB = 6$,$AE = 6$,$DE = 3$,求$EF$的长.

答案： $EF=3\sqrt{2}$

14. 如图,在$\triangle ABC$中,$\angle ACB = 90^{\circ}$,$CD\perp AB于D$,且$\triangle ACD\backsim\triangle ABC\backsim\triangle CBD$.求证：(1)$CD^{2}= AD\cdot BD$；
(2)$AC^{2}:BC^{2}= AD:BD$.

答案：
(1)
因为$\triangle ACD\sim\triangle ABC\sim\triangle CBD$，
由$\triangle ACD\sim\triangle CBD$可得：$\frac{CD}{BD}=\frac{AD}{CD}$，
根据比例的性质，交叉相乘可得$CD^{2}=AD\cdot BD$。
(2)
因为$\triangle ACD\sim\triangle ABC$，根据相似三角形性质可得$\frac{AC}{AB}=\frac{AD}{AC}$，即$AC^{2}=AB\cdot AD$；
因为$\triangle CBD\sim\triangle ABC$，根据相似三角形性质可得$\frac{BC}{AB}=\frac{BD}{BC}$，即$BC^{2}=AB\cdot BD$。
所以$\frac{AC^{2}}{BC^{2}}=\frac{AB\cdot AD}{AB\cdot BD}=\frac{AD}{BD}$，即$AC^{2}:BC^{2}=AD:BD$。

15. 一个钢筋三脚架长分别是 20 cm,50 cm,60 cm.现要再做一个与其相似的钢筋三脚架,而只有长为 30 cm 和 50 cm 的两根钢筋,要求以其中一根为一边,从另一根上截下两段(允许有余料),作为其余两边,则不同的截法有多少种？请说明理由.

答案： 假如将$30\ cm$的钢筋截开,则不能构成三角形,所以必须将$50\ cm$的钢筋截开.当$30\ cm$与$60\ cm$是对应边或$30\ cm$与$50\ cm$是对应边时,可符合条件.所以有两种不同的截法.