《2025年学习力提升九年级数学上册浙教版》

11. 如图,在等腰三角形$ABC$中,$AB = AC = 10$,$BC = 12$,求$\triangle ABC$外接圆的半径.

答案： $r=\frac{25}{4}$

12. 如图,在$\triangle ABC$中,点$D是\angle BAC$的平分线上一点,$BD\perp AD于点D$,过点$D作DE// AC交AB于点E$. 求证：点$E是过A$,$B$,$D$三点的圆的圆心.

答案： 证明:
∵AD平分$\angle BAC$,
∴$\angle BAD=\angle CAD$,
∵DE$//$AC,
∴$\angle CAD=\angle EDA$,
∴$\angle BAD=\angle EDA$,
∴EA=ED,
∵BD$\perp$AD,
∴$\angle BAD+\angle ABD=90°,\angle EDA+\angle EDB=90°$,
∴$\angle EDB=\angle ABD$,
∴ED=EB,
∴EA=ED=EB,即点E是过A,B,D三点的圆的圆心.

13. 如图,菱形$ABCD的边长是13$,点$O$是两条对角线的交点,且$OB = 12$. 约定：三角形三边上的任意一点到圆上的任意一点的距离的最小值叫作三角形与圆的距离. 依据这个约定,求当$\triangle ABD与\odot C的距离为3时\odot C$的半径.

答案：
解:因为四边形ABCD为菱形,所以BD是AC的垂直平分线,因为菱形ABCD的边长为13,且OB=12,所以由勾股定理可知OA=5,所以如图1所示时,$\triangle ABD$的BD的中点O到圆C的距离最小为3,因为OC=5,所以圆C的半径为2;如图2所示,当菱形ABCD在圆C内时,因为点B或点D到圆C的距离最短,CD=13,所以此时圆C的半径为13+3=16.综上r=2或16.