《2025年学习力提升九年级数学上册浙教版》

14. 如图,$AB$,$CD是半径为5的\odot O$的两条弦,$AB = 8$,$CD = 6$,$MN$是直径,$AB\perp MN于点E$,$CD\perp MN于点F$,$P为EF$上的任意一点,试求$PA + PC$的最小值.

答案：
$7\sqrt{2}$ 提示:连结OA,OB,OC,作CH⊥AB于点H,连结BC与MN交于点P',则当点P在点P'的位置时,PA+PC最小,为BC的长.

根据垂径定理，得到$BE=\frac{1}{2}AB=4$,
$CF=\frac{1}{2}CD=3$,
$\therefore OE=\sqrt{OB^{2}-BE^{2}}=\sqrt{5^{2}-4^{2}}=3$,
$OF=\sqrt{OC^{2}-CF^{2}}=\sqrt{5^{2}-3^{2}}=4$,
$\therefore CH=OE+OF=3+4=7$,
$BH=BE+EH=BE+CF=4+3=7$,
在Rt△BCH中,根据勾股定理得到$BC=7\sqrt{2}$,则PA+PC的最小值为$7\sqrt{2}$.