《2025年学习力提升九年级数学上册浙教版》

15. 如图,在正方形$ABCD$中,$AB = 4$,$E是BC$上一点,$F是CD$上一点,且$AE = AF$,设$\triangle AEF的面积为y$,$EC = x$.

(1)求$y关于x$的函数解析式,并求出自变量$x$的取值范围；
(2)当$S_{\triangle AEF}= \frac{7},{2}$时,求$CE$的长度；
(3)当$x$为何值时,$\triangle AEF$为正三角形.

答案： 解$:$　　
$(1)$由$S△AEF=S$正方形$ABCD-S△ABE-S△ADF-S△CEF，$得$y=16-\dfrac{1}{2}×4×(4-x)-\dfrac{1}{2}×4×(4-x)-\dfrac{1}{2}x²=-\dfrac{1}{2}x²+4x，$因为$E$为$BC$上一点，所以$0＜x＜4，$故$y=-\dfrac{1}{2}x²+4x(0＜x＜4).$　　
$(2)$当$y=\dfrac{7}{2}$时，$\dfrac{7}{2}=-\dfrac{1}{2}x²+4x，$解得$x=1$或$x=7($舍$)，$故$CE=1.$　　
$(3)$由题易得$△ABE≌△ADF，$则$AE=AF，$只需满足$AE=EF，$则$△AEF$为正三角形，由勾股定理可知，$AE²=16+(4-x)²，$$EF²=2x²，$$AE²=EF²，$所以$16+(4-x)²=2x²，$解得$x=-4+4√3$或$x=-4-4√3($舍$)，$故$x=-4+4√3.$