《2025年学习力提升九年级数学上册浙教版》

1. 用配方法将函数 $ y = \frac{1}{2}x^{2} - 2x + 1 $ 写成 $ y = a(x - h)^{2} + k $ 的形式是$y=\frac{1}{2}(x-2)^2-1$.

答案： $y=\frac{1}{2}(x-2)^2-1$

2. 抛物线 $ y = ax^{2} + 6x - 11 $ 的对称轴是直线 $ x = 3 $,则 $ a = $-1.

答案： -1

3. 二次函数 $ y = - 2x^{2} + 4x - 9 $ 的最高点的纵坐标是-7.

答案： -7

4. 抛物线 $ y = \frac{1}{2}(x - 4)^{2} + 5 $ 的开口方向、对称轴、顶点坐标分别是(A)
A.向上、直线 $ x = 4 $、$(4,5)$
B.向上、直线 $ x = - 4 $、$( - 4,5)$
C.向下、直线 $ x = 4 $、$(4, - 5)$
D.向下、直线 $ x = - 4 $、$( - 4,5)$

答案： A

5. 若抛物线 $ y = (x - m)^{2} + (m + 1) $ 的顶点在第一象限,则 $ m $ 的取值范围为(B)
A.$ m＞1 $
B.$ m＞0 $
C.$ m＞-1 $
D.$ - 1＜m＜0 $

答案： B

6. 抛物线 $ y = - 2x^{2} - 3x + 1 $ 的图象大致是(B)

答案： B

7. 已知抛物线 $ y = - \frac{1}{2}x^{2} + bx + c $ 经过点$(1,0)$,$(0,\frac{3}{2})$.
(1) 求该抛物线的函数表达式；
(2) 将抛物线 $ y = - \frac{1}{2}x^{2} + bx + c $ 平移,使其顶点恰好落在原点,请写出一种平移的方式.

答案： $(1)$求抛物线的函数表达式
解：已知抛物线$y = -\frac{1}{2}x^{2}+bx + c$经过点$(1,0)$，$(0,\frac{3}{2})$。
将点$(0,\frac{3}{2})$代入抛物线方程$y = -\frac{1}{2}x^{2}+bx + c$中，根据$x = 0$，$y=\frac{3}{2}$，可得：
$\frac{3}{2}=-\frac{1}{2}×0^{2}+b×0 + c$，即$c = \frac{3}{2}$。
把$c = \frac{3}{2}$和点$(1,0)$代入抛物线方程$y = -\frac{1}{2}x^{2}+bx + c$，此时$x = 1$，$y = 0$，$c=\frac{3}{2}$，则$0=-\frac{1}{2}×1^{2}+b×1+\frac{3}{2}$。
化简方程$0=-\frac{1}{2}+b+\frac{3}{2}$，即$0=b + 1$，解得$b=-1$。
所以，该抛物线的函数表达式为$y = -\frac{1}{2}x^{2}-x+\frac{3}{2}$。
$(2)$求平移方式
先将抛物线$y = -\frac{1}{2}x^{2}-x+\frac{3}{2}$化为顶点式：
$\begin{aligned}y&=-\frac{1}{2}x^{2}-x+\frac{3}{2}\\&=-\frac{1}{2}(x^{2}+2x)+ \frac{3}{2}\\&=-\frac{1}{2}(x^{2}+2x + 1 - 1)+\frac{3}{2}\\&=-\frac{1}{2}[(x + 1)^{2}-1]+\frac{3}{2}\\&=-\frac{1}{2}(x + 1)^{2}+\frac{1}{2}+\frac{3}{2}\\&=-\frac{1}{2}(x + 1)^{2}+2\end{aligned}$
其顶点坐标为$(-1,2)$。
要使其顶点恰好落在原点$(0,0)$，一种平移方式是：先向右平移$1$个单位（$x$坐标从$-1$变为$0$），再向下平移$2$个单位（$y$坐标从$2$变为$0$）。
综上，答案依次为：$(1)$$\boldsymbol{y = -\frac{1}{2}x^{2}-x+\frac{3}{2}}$；$(2)$先向右平移$1$个单位，再向下平移$2$个单位 。