《2025年学习力提升九年级数学上册浙教版》

14. 已知等边三角形 $ABC$ 内接于 $\odot O$,点 $P$ 是 $\overset{\frown}{BC}$ 上的一点(端点除外),延长 $BP$ 至点 $D$,使 $BD= AP$,连结 $CD$,$PC$.
(1) 若 $AP$ 过圆心 $O$,如图 $1$ 所示,请你判断 $\triangle PDC$ 是什么三角形,并说明理由；
(2) 若 $AP$ 不过圆心 $O$,如图 $2$ 所示,$\triangle PDC$ 又是什么三角形？为什么？

答案： 解：
(1)△PDC 为等边三角形.理由如下：
∵△ABC 为等边三角形，
∴AC=BC.
∵∠PAC=∠PBC，AP=BD，
∴△APC≌△BDC，
∴PC=DC.
∵AP 过圆心 O，AB=AC，∠BAC=60°，
∴∠BAP=∠PAC= $\frac{1}{2}$∠BAC=30°，
∴∠PBC=∠PAC=30°，∠BCP=∠BAP=30°，
∴∠CPD=∠PBC+∠BCP=30°+30°=60°.
∴△PDC 为等边三角形.
(2)△PDC 仍为等边三角形. 理由如下：由
(1)得 PC=DC，
∵∠BAP=∠BCP，∠PBC=∠PAC，
∴∠CPD=∠PBC+∠BCP=∠PAC+∠BAP=60°.
∴△PDC 为等边三角形.