《2025年课堂点睛八年级数学上册北师大版宁夏专版》

利用勾股定理求最短路径：在立体图形上找最短距离,通常要把立体图形转化为平面图形,再利用“两点之间线段最短”这个性质,找到立体图形表面上两点间的最短路径,并用勾股定理求解。

答案： 线段最短

如图所示,有一个圆柱形油罐,已知油罐的底面圆的周长是8m,高是6m,要从A点起环绕油罐建梯子,梯子的顶端恰好到达点A的正上方点B,则梯子最短需要多长？

答案： 【自主解答】
解：由展开图可得Rt△ABC,AC= 8m,BC= 6m,由勾股定理得$AB^2= 8^2+6^2= 100,$
∴AB= 10m.
故梯子最短需要10m.
【方法归纳】
解决这类问题的关键是把曲面转化为平面,把曲线转化为直线,构造直角三角形,用勾股定理求出未知线段的长.

1. (金华市中考)如图,圆柱的底面直径为AB,高为AC,一只蚂蚁在C处,沿圆的侧面爬到B处,现将圆柱侧面沿AC“剪开”,在侧面展开图上画出蚂蚁爬行的最短路线,正确的是(C)

答案： 1.C

2. 如图是一个底面为等边三角形的三棱镜,在三棱镜的侧面上,从顶点A到顶点A'镶有一圈金属丝,已知此三棱镜的高为8cm,底面边长为2cm,则这圈金属丝的长度至少为10cm.

答案： 2.10

3. 如图,是一个三级台阶,它的每一级的长、宽、高分别为20dm,3dm,2dm,A和B是两个相对的点,则A点蚂蚁想吃到B点食物的最短路程是25dm.

答案： 3.25dm

4. 如图,长方体的长为2,宽为1,高为4,一只蚂蚁欲从长方体底面上的点A,沿长方体的表面爬到点C'处,则爬行的最短路程为4.5.

答案： 4.5

5. 如图,牧童在河边A处放牛,家在河边B处,时近傍晚,牧童驱赶牛群先到河边饮水,然后在天黑前赶回家.已知A点到河边C的距离为500m,点B到河边D的距离为700m,且CD= 500m.
(1)请在原图上画出牧童回家的最短路线；
(2)求出最短路线的长度.

答案：
5.
(1)解:如图 作点A 关于直线CD的对称点A',连接A'B 交CD于点P,连接AP,则AP+PB即为所求作的最短路线.
(2)由作图可得最短路线为A'B的长度，过点A'作A'F⊥BD的延长线于点F,则DF=A'C=AC=500m,A'F=CD=500m,BF=700+500=1200 (m).根据勾股定理,可得A'B²=1200²+500²=1300²,
∴A'B=1300m.即最短路线的长度为1300m.