《2025年课堂点睛八年级数学上册北师大版宁夏专版》

10. 计算：$(\frac{\sqrt{5}+1}{2}-1)×\frac{\sqrt{5}+1}{2}= $(B)
A.0
B.1
C.2
D.$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$

答案： B

11. (易错题)已知$m = 1+\sqrt{2},n = 1-\sqrt{2}$,则代数式$\sqrt{m^2+n^2-3mn}$的值为(C)
A.9
B.$\pm3$
C.3
D.5

答案： C

12. 计算$(\sqrt{5}-2)^{2025}×(\sqrt{5}+2)^{2024}$的值为$\sqrt{5}-2$。

答案： $\sqrt{5}-2$

13. 计算下列各题：
(1)$\frac{\sqrt{20}+\sqrt{15}}{\sqrt{5}}-\sqrt{\frac{1}{3}}×\sqrt{12}$；
(2)$(\sqrt{5}+3)(\sqrt{5}-3)-(\sqrt{3}-1)^2$；
(3)$\vert-\sqrt{2}\vert+(\sqrt{2}-\frac{1}{2})^2-(\sqrt{2}+\frac{1}{2})^2$。

答案： （1）解:原式$=2+\sqrt{3}-2=\sqrt{3}$.
（2）解:原式$=5-9-(3-2\sqrt{3}+1)=-4-4+2\sqrt{3}=-8+2\sqrt{3}$.
（3）解:原式$=\sqrt{2}+\left( \sqrt{2}-\frac{1}{2}+\sqrt{2}+\frac{1}{2}\right)\left( \sqrt{2}-\frac{1}{2}-\sqrt{2}-\frac{1}{2}\right)=\sqrt{2}+2\sqrt{2}× (-1)=\sqrt{2}-2\sqrt{2}=-\sqrt{2}$.

14. (核心素养·运算能力)在一个边长为$(6\sqrt{15}+5\sqrt{5})cm的正方形内部挖去一个边长为(6\sqrt{15}-5\sqrt{5})cm$的正方形,求剩余部分的面积。

答案： 解:由题意,得剩余部分的面积:$S=(6\sqrt{15}+5\sqrt{5})^{2}-(6\sqrt{15}-5\sqrt{5})^{2}=(6\sqrt{15}+5\sqrt{5}+6\sqrt{15}-5\sqrt{5})× (6\sqrt{15}+5\sqrt{5}-6\sqrt{15}+5\sqrt{5})=12\sqrt{15}× 10\sqrt{5}=120\sqrt{75}=600\sqrt{3}(cm^{2})$.答:剩余部分的面积为$600\sqrt{3}cm^{2}$.

【变式 1】$\frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}与\sqrt{3}+\sqrt{2}$的关系是相等。

答案： 相等

【变式 2】计算：$\frac{1}{\sqrt{2}-1}+\frac{1}{\sqrt{2}+1}= $$2\sqrt{2}$。

答案： $2\sqrt{2}$

【拓展】观察下列等式：
$a_1= \frac{1}{1+\sqrt{3}}= \frac{\sqrt{3}-1}{2}$；$a_2= \frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{5}}= \frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{2}$；
$a_3= \frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{7}}= \frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{2}$；$a_4= \frac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{9}}= \frac{\sqrt{9}-\sqrt{7}}{2}$；…。
- (1) 请写出第$n$个等式：$a_{n}=\frac{1}{\sqrt{2n-1}+\sqrt{2n+1}}=\frac{\sqrt{2n+1}-\sqrt{2n-1}}{2}$；
- (2) 求$a_1+a_2+a_3+…+a_{20}$的值。
解:$a_1+a_2+a_3+\cdots +a_{20}=\frac{\sqrt{3}-1}{2}+\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{2}+\cdots +\frac{\sqrt{41}-\sqrt{39}}{2}=\frac{-1+\sqrt{41}}{2}$.

答案： （1）$a_{n}=\frac{1}{\sqrt{2n-1}+\sqrt{2n+1}}=\frac{\sqrt{2n+1}-\sqrt{2n-1}}{2}$；
（2）解:$a_1+a_2+a_3+\cdots +a_{20}=\frac{\sqrt{3}-1}{2}+\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{2}+\cdots +\frac{\sqrt{41}-\sqrt{39}}{2}=\frac{-1+\sqrt{41}}{2}$.