《2025年课堂点睛八年级数学上册北师大版宁夏专版》

巧求平面直角坐标系中图形的面积
【教材母题】(教材第73页复习题第8题)在如图所示的直角坐标系中,四边形ABCD各个顶点的坐标分别是A(0,0),B(3,6),C(14,8),D(16,0),确定这个四边形的面积.你是怎么做的?与同伴进行交流.

解法展示
方法1:分割法
[方法指导]对于不规则图形,可考虑将图形分割成直角三角形,长方形或梯形,通过求其面积之和,得到要求图形的面积.
方法2:补形法
[方法指导]当图形的各边均不在坐标轴上且不与坐标轴平行时,可考虑将图形补成常见的长方形或梯形,再通过常见图形面积的和差,得到要求图形的面积.

答案： 1. 方法一：分割法
过点$B$作$BE\perp x$轴于点$E$，过点$C$作$CF\perp x$轴于点$F$。
则$S_{四边形ABCD}=S_{\triangle ABE}+S_{梯形BEFC}+S_{\triangle CFD}$。
已知$A(0,0)$，$B(3,6)$，$C(14,8)$，$D(16,0)$。
根据三角形面积公式$S = \frac{1}{2}ah$（$a$为底，$h$为高），梯形面积公式$S=\frac{(a + b)h}{2}$（$a$、$b$为上、下底，$h$为高）。
对于$\triangle ABE$：$AE = 3$，$BE = 6$，$S_{\triangle ABE}=\frac{1}{2}× AE× BE=\frac{1}{2}×3×6 = 9$。
对于梯形$BEFC$：$BE = 6$，$CF = 8$，$EF=14 - 3=11$，$S_{梯形BEFC}=\frac{(BE + CF)× EF}{2}=\frac{(6 + 8)×11}{2}=77$。
对于$\triangle CFD$：$FD=16 - 14 = 2$，$CF = 8$，$S_{\triangle CFD}=\frac{1}{2}× FD× CF=\frac{1}{2}×2×8 = 8$。
所以$S_{四边形ABCD}=9 + 77+8=94$。
2. 方法二：补形法
过点$B$作$BE\perp x$轴于点$E$，过点$C$作$CF\perp x$轴于点$F$，过点$B$作$BG\perp CF$于点$G$，延长$EB$交$y$轴于点$H$。
则$S_{四边形ABCD}=S_{矩形OHFC}-S_{\triangle ABE}-S_{\triangle BCG}-S_{\triangle CFD}$。
$S_{矩形OHFC}=14×8 = 112$。
$S_{\triangle ABE}=\frac{1}{2}×3×6 = 9$。
$CG=8 - 6 = 2$，$BG = 14 - 3=11$，$S_{\triangle BCG}=\frac{1}{2}× BG× CG=\frac{1}{2}×11×2 = 11$。
$S_{\triangle CFD}=\frac{1}{2}×2×8 = 8$。
所以$S_{四边形ABCD}=112-9 - 11-8=94$。
综上，四边形$ABCD$的面积为$94$。

【变式1】如图,已知A(-4,-5),B(-2,0),C(4,0),求△ABC的面积.

答案： 解:
∵A(-4,-5),B(-2,0),C(4,0),
∴BC=6,BC边上的高为A的纵坐标的绝对值,
∴S△ABC=$\frac{1}{2}$×6×|-5|=15.

【变式2】如图所示的直角坐标系中,四边形ABCD各个顶点的坐标分别为A(-1,3),B(-3,2),C(-4,0),D(0,0),求四边形ABCD的面积.

答案： 解:作AE⊥x轴于点E,BF⊥x轴于点F. S四边形ABCD=S△ADE+S梯形AEFB+S△BCF=$\frac{1}{2}$×1×3+$\frac{1}{2}$×(2+3)×2+$\frac{1}{2}$×1×2=1.5+5+1=7.5. 故四边形ABCD的面积为7.5.

【变式3】如图,A(-5,4),B(-2,-2),C(0,2),求△ABC的面积.

答案： 解:作AD⊥y轴于点D,BF⊥y轴于点F,延长FB交过点A且平行于y轴的直线于点E. S△ABC=S长方形ADFE-S△ABE-S△BCF-S△ADC=5×6-$\frac{1}{2}$×3×6-$\frac{1}{2}$×2×4-$\frac{1}{2}$×2×5=30-9-4-5=12.