《2025年课堂点睛八年级数学上册北师大版宁夏专版》

13. (烟台市中考)下列二次根式中,与$\sqrt{2}$是同类二次根式的是(C)
A.$\sqrt{4}$
B.$\sqrt{6}$
C.$\sqrt{8}$
D.$\sqrt{12}$

答案： C

14. (新情境)如图,矩形内有两个相邻的正方形,其面积分别为 2 和 8,则图中阴影部分的面积为2.

答案： 2

15. 计算下列各题：
(1)$\sqrt{18} - \sqrt{72} + \sqrt{50}$；
(2)$\sqrt{18} × \sqrt{\frac{1}{2}} ÷ \sqrt{3}$；
(3)$\sqrt{48} - \sqrt{54} ÷ \sqrt{2} + (3 - \sqrt{3})(3 + \sqrt{3})$.

答案：
(1)解:原式$=3\sqrt{2}-6\sqrt{2}+5\sqrt{2}=2\sqrt{2}$.
(2)解:原式$=\sqrt{18×\frac{1}{2}}÷\sqrt{3}=\sqrt{9}÷\sqrt{3}=\sqrt{3}$.
(3)解:原式$=4\sqrt{3}-\sqrt{54}÷2+9-3=4\sqrt{3}-3\sqrt{3}+9-3=\sqrt{3}+6$.

16. 先化简,后求值：$(a + \sqrt{5})(a - \sqrt{5}) - a(a - 2)$,其中$a = \sqrt{2} + 1$.

答案： 解:$(a+\sqrt{5})(a-\sqrt{5})-a(a-2)=a^2-5-a^2+2a=2a-5$,将$a=\sqrt{2}+1$代入$2a-5$得,$2(\sqrt{2}+1)-5=2\sqrt{2}+2-5=2\sqrt{2}-3$.

17. 将$a\sqrt{-\frac{1}{a}}$中根号外的因式移到根号内,所得结果正确的是(B)
A.$\sqrt{-a}$
B.$-\sqrt{-a}$
C.$-\sqrt{a}$
D.$\sqrt{a}$

答案： B

18. 已知$y = \sqrt{x - 4} + \sqrt{4 - x} - 2$,则$2x - y$的值是10.

答案： 10

19. 已知$25x^2 - 144 = 0$,且$x ＞ 0$,则$2\sqrt{5x + 13}$的平方根为$\pm\sqrt{10}$.

答案： $\pm\sqrt{10}$

20. (注重阅读理解)像$\sqrt{4 - 2\sqrt{3}}$,$\sqrt{48 - \sqrt{45}}$,…$$,这样的根式叫作复合二次根式,有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简,
如：$\sqrt{4 - 2\sqrt{3}} = \sqrt{3 - 2\sqrt{3} + 1} = \sqrt{(\sqrt{3})^2 - 2 × \sqrt{3} × 1 + 1^2} = \sqrt{(\sqrt{3} - 1)^2} = \sqrt{3} - 1$,
再如：$\sqrt{5 + 2\sqrt{6}} = \sqrt{3 + 2\sqrt{6} + 2} = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 2 × \sqrt{3} × \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2} = \sqrt{(\sqrt{3} + \sqrt{2})^2} = \sqrt{3} + \sqrt{2}$.
请用上述方法探索并解决下列问题：
(1)化简：$\sqrt{12 + 2\sqrt{35}} = $$\sqrt{7}+\sqrt{5}$；
(2)化简：$\sqrt{16 - 2\sqrt{15}} = $$\sqrt{15}-1$；
(3)若$a + 6\sqrt{5} = (m + \sqrt{5}n)^2$,且$a$,$m$,$n$为正整数,求$a$的值.

答案：
(1)$\sqrt{7}+\sqrt{5}$
(2)$\sqrt{15}-1$
(3)解:
∵$a+6\sqrt{5}=(m+\sqrt{5}n)^2$,
∴$a+2×3×\sqrt{5}=a+2×1×3\sqrt{5}=(m+\sqrt{5}n)^2$,即$(3+\sqrt{5})^2=(m+\sqrt{5}n)^2$,或$(1+3\sqrt{5})^2=(m+\sqrt{5}n)^2$,
∴$a=3^2+(\sqrt{5})^2=14$,$m=3$,$n=1$,或$a=1^2+(3\sqrt{5})^2=46$,$m=1$,$n=3$,
∴$a$的值为14或46.