《2025年课堂点睛八年级数学上册北师大版宁夏专版》

1. 面积法验证勾股定理：同一个图形的面积可以用不同式子表示,用面积法验证勾股定理要通过变形寻找图形与转化后图形面积的等量关系。

答案： 设直角三角形三边为$a$、$b$（直角边）、$c$（斜边）。
构造两个边长为$b$的正方形和一个边长为$a + b$的正方形进行面积法验证：
两个边长为$b$的正方形与两个长为$a$，宽为$b$的长方形可拼成如“弦图”般的图形，其面积可表示为$2×\frac{1}{2}ab + b^{2}+a^{2}$（两个直角三角形面积加两个小正方形面积）；同时该图形整体也可看作边长为$c$的正方形与两个小直角三角形组合，面积又可表示为$c^{2}+2×\frac{1}{2}ab$。
因为图形面积固定，所以$a^{2}+b^{2}=c^{2}$。

2. 勾股定理的简单应用：把实际问题转化为“直角三角形”模型,已知直角三角形的两边长,运用勾股定理可求第三边的长。

答案： 勾股定理

已知A,B两艘船同时从港口O出发,船A以20km/h的速度向东航行；船B以15km/h的速度向北航行。它们离开港口2h后,相距多远？

答案： 解：由题意得，OA = 20×2 = 40(km)，OB = 15×2 = 30(km)。
因为船A向东航行，船B向北航行，所以OA⊥OB，即△AOB为直角三角形。
根据勾股定理，AB² = OA² + OB² = 40² + 30² = 1600 + 900 = 2500，
所以AB = √2500 = 50(km)。
答：它们相距50km。

1. 历史上对勾股定理的一种证法采用了如图图形,其中两个全等的直角三角形边AE,EB在一条直线上。证明中用到的面积相等的关系是(D)
$A. S_{△EDA} = S_{△CEB}$
$B. S_{△EDA} + S_{△CEB} = S_{△CDE}$
$C. S_{四边形CDAE} = S_{四边形CDEB}$
$D. S_{△EDA} + S_{△CDE} + S_{△CEB} = S_{四边形ABCD}$

答案： D

2. 如图,货车卸货时支架侧面是Rt△ABC,其中∠ACB = 90°,已知AB = 2.5m,AC = 2m,则BC的长为(A)

A.1.5m
B.2m
C.2.5m
D.3m

答案： A

3. (眉山市中考改编)如图,图1是北京国际数学家大会的会标,它取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”,是由四个全等的直角三角形拼成。若图1中大正方形的面积为24,小正方形的面积为4,现将这四个直角三角形拼成图2,则图2中大正方形的面积为44。

答案： 44

4. 如图,为修通铁路需凿通隧道AC,测得∠C = 90°,AB = 5km,BC = 4km,若每天开凿隧道0.3km,试计算需要几天才能把隧道AC凿通。

答案： 解:在 Rt△ABC 中,由勾股定理,得AC²=AB²-BC²=25-16=9,
∴AC=3km,3÷0.3=10(天).答:需要 10 天才能把隧道 AC 凿通.

5. 在△ABC中,AB = 13cm,AC = 20cm,高AD = 12cm,则BC的长为11 或 21cm。

答案： 11 或 21