《2025年课堂点睛八年级数学上册北师大版宁夏专版》

1. 如图,一次函数 $ y = mx + 2 $ 的图象经过点 $ A(2,4) $,$ B(n,-1) $。
(1) 求 $ m $,$ n $ 的值；
(2) 连接 $ OA $,$ OB $,求 $ \triangle OAB $ 的面积。

答案： 1.
(1)解：
∵一次函数y=mx+2的图象经过点A(2,4)，
∴2m+2=4，解得m=1.
∴一次函数表达式为y=x+2，
∵一次函数y=x+2的图象经过点B(n,-1)，
∴n+2=-1，解得n=-3.
(2)设直线AB与y轴的交点为C，令x=0，则y=2，
∴点C的坐标为(0,2)，
∴OC=2，
∴S△OAB=S△AOC+S△BOC=1/2×2×2+1/2×2×3=2+3=5.

2. 如图,直线 $ y = 2x + 3 $ 与 $ x $ 轴交于点 $ A $,与 $ y $ 轴交于点 $ B $,将直线 $ AB $ 向下平移后经过点 $ P(3,0) $。
(1) 求平移后的直线所对应的函数表达式；
(2) 求 $ \triangle PAB $ 的面积。

答案： 2.
(1)解：设平移后的直线所对应的函数表达式为y=2x+b，将点P(3,0)代入，得0=2×3+b，解得b=-6.
∴平移后的直线所对应的函数表达式为y=2x-6.
(2)对于y=2x+3，当x=0时，y=3；当y=0时，x=-3/2.
∴点A(-3/2,0)，点B(0,3)，
∴AP=|3-(-3/2)|=9/2，
∴S△PAB=1/2AP·OB=1/2×9/2×3=27/4.

3. 已知一次函数 $ y = kx + b $ 的图象与 $ y $ 轴交于点 $ A(0,4) $,且过点 $ B(2,3) $。
(1) 求一次函数的表达式；
(2) 直线 $ y = kx + b $ 与 $ x $ 轴的交点为 $ C $ 点,点 $ P $ 在该函数图象上,且 $ \triangle POC $ 的面积为 $ 4 $,求 $ P $ 点的坐标。

答案： 3.
(1)解：将点A(0,4)，点B(2,3)代入一次函数y=kx+b得b=4，2k+b=3，解得k=-0.5.
∴所求的函数表达式为y=-0.5x+4.
(2)当y=0时，则y=-0.5x+4=0，解得x=8，
∴点C的坐标为(8,0)，
∴S△POC=1/2h·OC=4，解得h=1，故点P纵坐标的绝对值为1，
∴P点的坐标可能为(6,1)或(10,-1).

4. (动点问题) 如图,一次函数 $ y = kx + b $ 的图象与 $ x $ 轴交于点 $ A $,与 $ y $ 轴交于点 $ B(0,2) $。已知点 $ C(-1,3) $ 在该图象上,连接 $ OC $。
(1) 求函数 $ y = kx + b $ 的关系式；
(2) 点 $ P $ 为 $ x $ 轴上一动点,若 $ S_{\triangle ACP} = 2S_{\triangle AOB} $,求点 $ P $ 的坐标。

答案： 4.
(1)解：把B(0,2)，C(-1,3)代入到y=kx+b中得b=2，-k+b=3，解得k=-1.
∴函数y=kx+b的关系式为y=-x+2.
(2)设点P的坐标为(m,0)，令y=0，则x=2，
∴A(2,0)，
∴AP=|m-2|，OA=OB=2，
∴S△AOB=1/2OA·OB=1/2×2×2=2，
∵S△ACP=2S△AOB，
∴1/2AP·yC=4，
∴3/2|m-2|=4，
∴m=14/3或m=-2/3，
∴点P的坐标为(14/3,0)或(-2/3,0).