《2025年课堂点睛八年级数学上册北师大版宁夏专版》

7. 已知直角三角形中两边长分别为 6 和 8,则第三边的平方为100 或 28。

答案： 100 或 28

【变式】直角三角形的两条边分别为 3,4,则它的斜边为4 或 5。

答案： 4 或 5

8. 如图,在四边形 ABCD 中,∠DAB = ∠BCD = 90°,分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形,若$ S_1 + S_4 = 125,S_3 = 46,$则$ S_2 $等于(B)

A.171
B.79
C.100
D.81

答案： B

9. 如图是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形,大直角三角形的斜边和其中一直角边长分别是 13,12,则图中阴影部分的面积是(B)
A. 16
B. 25
D. 169

答案： B

10. 在 Rt△ABC 中,∠C = 90°,若 a = 6,b = 8,则斜边 c = 10,斜边 c 上的高 h = $\frac{24}{5}$。

答案： 10 $\frac{24}{5}$

11. 如图,图中的长方形的面积为_________$cm^2。$

51

答案： 51

12. 如图,某斜拉桥的主梁 AD 垂直于桥面 MN 于点 D,主梁上有两根拉索 AB,AC,主梁 AD 的高度为 12 米,固定点 B,C 之间的距离为 21 米,AC 的长为 20 米,则拉索 AB 的长为13 米。

答案： 13 米

13. 如图,在钝角三角形 ABC 中,已知 AB = 15,BC = 13,AC 边上的高 BD = 12,求 AC 的长。
]

答案： 解:由题意得,在Rt△BCD中,$BC=13$,$BD=12$,
∴$CD^{2}=BC^{2}-BD^{2}=25$,
∴$CD=5$,在Rt△ABD中,$AB=15$,$BD=12$,
∴$AD^{2}=AB^{2}-BD^{2}=81$,
∴$AD=9$,
∴$AC=AD-CD=9-5=4$.

14. (核心素养·几何直观)(1)如图①所示,在 Rt△ABC 中,∠ACB = 90°,BC = a,AC = b,AB = c,以 Rt△ABC 的三边长向外作的正方形的面积分别为$ S_1,S_2,S_3,$直接写出$ S_1,S_2,S_3 $之间存在的等量关系为$S_{1}+S_{2}=S_{3}$；
(2)如图②,如果以 Rt△ABC 的三边长为直径向外作半圆,那么(1)中的结论是否成立？请说明理由；
(3)如图③,在 Rt△ABC 中,∠ACB = 90°,三边长分别为 5,12,13,分别以它的三边长为直径向上作半圆,求图③中阴影部分的面积。
]

答案：
(1)$S_{1}+S_{2}=S_{3}$
(2)解:成立,设直角三角形两条直角边BC,AC的长分别为a,b,斜边AB的长为c.
∴$S_{1}=\frac{1}{2}\pi(\frac{b}{2})^{2}=\frac{b^{2}\pi}{8}$,$S_{2}=\frac{1}{2}\pi(\frac{a}{2})^{2}=\frac{a^{2}\pi}{8}$,$S_{3}=\frac{1}{2}\pi(\frac{c}{2})^{2}=\frac{c^{2}\pi}{8}$,由勾股定理,得$a^{2}+b^{2}=c^{2}$,
∴$\frac{a^{2}\pi}{8}+\frac{b^{2}\pi}{8}=\frac{\pi(a^{2}+b^{2})}{8}=\frac{\pi c^{2}}{8}$,
∴$S_{1}+S_{2}=S_{3}$.
(3)根据
(2)的结论,两个以直角边为直径的半圆面积和等于以斜边为直径的半圆面积.
∴$S_{阴影部分}=S_{直角三角形}$,
∴$S_{阴影部分}=\frac{1}{2}×5×12=30$.