《2025年课堂点睛八年级数学上册北师大版宁夏专版》

7. 在 $\triangle ABC$ 中,$AB = 15$,$AC = 20$,$D$ 是 $BC$ 边所在直线上的点,$AD = 12$,$BD = 9$,则 $BC = $25 或 7。

答案： 25 或 7

8. 一个三角形的三边之比为 $5:12:13$,周长为 $60$,则它的面积是 (A)
A.$120$
B.$144$
C.$196$
D.$60$

答案： A

9. 在学习“勾股数”的知识时,爱动脑的小明发现了一组有规律的勾股数,并将它们记录在如下的表格中,则当 $a = 24$ 时,$b + c$ 的值为 (B)

A.$250$
B.$288$
C.$300$
D.$574$

答案： B

10. 如图,每个小正方形的边长为 $1$,则 $\angle ABC$ 的度数为$45^{\circ }$。

答案： $45^{\circ }$

11. 若 $|x - 5|+|y - 12|+(z - 13)^{2}= 0$,则以 $x$,$y$,$z$ 为三边的三角形的面积为30。

答案： 30

12. (教材第 $11$ 页随堂练习第 $2$ 题变式)如图所示,在正方形 $ABCD$ 中,$E$ 为 $AB$ 的中点,$F$ 是 $AD$ 上一点,且 $AF= \frac{1}{4}AD$,试判断 $\triangle FEC$ 的形状,并说明理由。

答案： 解:$\triangle FEC$为直角三角形,理由:设正方形边长为$4a$,则$AE=BE=2a,AF=a,FD=3a$.在$Rt\triangle AEF$中,$EF^{2}=a^{2}+(2a)^{2}=5a^{2}$,在$Rt\triangle BCE$中,$CE^{2}=(2a)^{2}+(4a)^{2}=20a^{2}$,在$Rt\triangle CDF$中,$CF^{2}=(3a)^{2}+(4a)^{2}=25a^{2}$,所以$CF^{2}=CE^{2}+EF^{2}$,所以$\triangle FEC$是直角三角形.

如图,在四边形 $ABCD$ 中,$AB = 3cm$,$AD = 4cm$,$BC = 13cm$,$CD = 12cm$,且 $\angle A = 90^{\circ}$,则四边形 $ABCD$ 的面积为 (D)

A.$12cm^{2}$
B.$18cm^{2}$
C.$22cm^{2}$
D.$36cm^{2}$

答案： D

【变式】如图,已知 $\angle ADC = 90^{\circ}$,$AD = 8m$,$CD = 6m$,$BC = 24m$,$AB = 26m$,则图中阴影部分的面积为$96\mathrm{m}^{2}$。

答案： $96\mathrm{m}^{2}$

【拓展】某小区将对广场一块三角形空地进行绿化,如图,等腰三角形 $ABC$ 的底边 $BC$ 长为 $10m$,点 $D$ 是 $AC$ 上的一点,$BD = 8m$,$CD = 6m$。
(1)求证：$BD\perp AC$；
(2)三角形空地的面积为______$m^{2}$。

(1)证明:在$\triangle BDC$中,$BC=10\mathrm{m},BD=8\mathrm{m},CD=6\mathrm{m},\therefore BD^{2}+CD^{2}=8^{2}+6^{2}=10^{2}=BC^{2},\therefore \angle BDC=90^{\circ },\therefore BD\perp AC$.
(2)$\frac{100}{3}$

答案：
(1)证明:在$\triangle BDC$中,$BC=10\mathrm{m},BD=8\mathrm{m},CD=6\mathrm{m},\therefore BD^{2}+CD^{2}=8^{2}+6^{2}=10^{2}=BC^{2},\therefore \angle BDC=90^{\circ },\therefore BD\perp AC$.
(2)$\frac{100}{3}$