《2025年鲁人泰斗假期好时光八年级数学青岛版》

19. (10 分)如图,点 $E$ 是平行四边形 $ABCD$ 对角线 $AC$ 上一点,点 $F$ 在 $BE$ 延长线上,且 $EF = BE$,$EF$ 与 $CD$ 交于点 $G$.
(1)求证：$DF// AC$；
(2)连接 $DE$、$CF$,若 $AB\perp BF$,点 $G$ 恰好是 $CD$ 的中点,求证：四边形 $CFDE$ 是菱形；

答案：
证明：
(1) 连接 $BD$，交 $AC$ 于点 $O$，如图所示．

$\because$ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形，
$\therefore BO = DO$．
$\because BE = EF$，
$\therefore OE$ 是 $\triangle BDF$ 的中位线．
$\therefore OE // DF$，即 $DF // AC$．
(2) 如图所示．

由
(1) 得 $DF // AC$，
$\therefore \angle DFG = \angle CEG$，$\angle GDF = \angle GCE$．
$\because G$ 是 $CD$ 的中点，
$\therefore DG = CG$．
$\therefore \triangle DFG \cong \triangle CEG ( \mathrm { AAS } )$．
$\therefore FG = EG$．
$\therefore$ 四边形 $CFDE$ 是平行四边形．
$\because$ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形，
$\therefore AB // CD$．
又 $\because AB \perp BF$，
$\therefore CD \perp BF$．
$\therefore$ 平行四边形 $CFDE$ 是菱形．

20. (10 分)如图 1,$\triangle ABC$ 是以 $\angle ACB$ 为直角的直角三角形,分别以 $AB$,$BC$ 为边向外作正方形 $ABFG$,$BCED$,连接 $AD$,$CF$,$AD$ 与 $CF$ 交于点 $M$,$AB$ 与 $CF$ 交于点 $N$.
(1)求证：$\triangle ABD\cong\triangle FBC$；
(2)如图 2,在图 1 基础上连接 $CD$,$AF$ 和 $FD$,若 $AD = 6$,求四边形 $ACDF$ 的面积.


(1) 证明：$\because$ 四边形 $ABFG$ 和四边形 $BCED$ 是正方形，
$\therefore BC = BD$，$AB = BF$，$\angle CBD = \angle ABF = 90^{\circ}$．
$\therefore \angle CBD + \angle ABC = \angle ABF + \angle ABC$．
$\therefore \angle ABD = \angle CBF$．
在 $\triangle ABD$ 和 $\triangle FBC$ 中，
$\left\{ \begin{array} { l } { AB = FB }, \\ { \angle ABD = \angle FBC }, \\ { BD = BC }, \end{array} \right.$
$\therefore \triangle ABD \cong \triangle FBC ( \mathrm { SAS } )$．
(2) $\because \triangle ABD \cong \triangle FBC$，
$\therefore \angle BAD = \angle BFC$，$AD = FC = 6$．
$\therefore \angle AMF = 180^{\circ} - ( \angle BAD + \angle ANF )$
$= 180^{\circ} - ( \angle BFC + \angle BNF )$
$= 180^{\circ} - ( 180^{\circ} - \angle ABF )$
$= 180^{\circ} - ( 180^{\circ} - 90^{\circ} )$
$= 90^{\circ}$，
即 $AD \perp CF$．
$\therefore$ 四边形 $ACDF$ 的面积 $S = S _ { \triangle A C D } + S _ { \triangle A D F }$
$= \frac { 1 } { 2 } × AD × CM + \frac { 1 } { 2 } × AD × FM$
$= \frac { 1 } { 2 } × AD × CF$
$= \frac { 1 } { 2 } × 6 × 6 =$18．

答案： 解：
(1) 证明：$\because$ 四边形 $ABFG$ 和四边形 $BCED$ 是正方形，
$\therefore BC = BD$，$AB = BF$，$\angle CBD = \angle ABF = 90^{\circ}$．
$\therefore \angle CBD + \angle ABC = \angle ABF + \angle ABC$．
$\therefore \angle ABD = \angle CBF$．
在 $\triangle ABD$ 和 $\triangle FBC$ 中，
$\left\{ \begin{array} { l } { AB = FB }, \\ { \angle ABD = \angle FBC }, \\ { BD = BC }, \end{array} \right.$
$\therefore \triangle ABD \cong \triangle FBC ( \mathrm { SAS } )$．
(2) $\because \triangle ABD \cong \triangle FBC$，
$\therefore \angle BAD = \angle BFC$，$AD = FC = 6$．
$\therefore \angle AMF = 180^{\circ} - ( \angle BAD + \angle ANF )$
$= 180^{\circ} - ( \angle BFC + \angle BNF )$
$= 180^{\circ} - ( 180^{\circ} - \angle ABF )$
$= 180^{\circ} - ( 180^{\circ} - 90^{\circ} )$
$= 90^{\circ}$，
即 $AD \perp CF$．
$\therefore$ 四边形 $ACDF$ 的面积 $S = S _ { \triangle A C D } + S _ { \triangle A D F }$
$= \frac { 1 } { 2 } × AD × CM + \frac { 1 } { 2 } × AD × FM$
$= \frac { 1 } { 2 } × AD × CF$
$= \frac { 1 } { 2 } × 6 × 6 = 18$．