《2025年鲁人泰斗假期好时光八年级数学青岛版》

9. 如图,在矩形$ABCD$中,对角线$AC$,$BD相交于点O$,$\angle AOB = 60^{\circ}$,$AC = 6cm$,则$AB$的长是(A)

A.$3cm$
B.$6cm$
C.$10cm$
D.$12cm$

答案： A 【解析】
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ OA = OC = OB = OD = 3.
∵ ∠AOB = 60°，
∴ △AOB是等边三角形.
∴ AB = OA = 3. 故选A.

10. 如图,$E是矩形ABCD$的对角线的交点,点$F在边AE$上,且$DF = DC$,若$\angle ADF = 25^{\circ}$,则$\angle ECD = $______57.5$^{\circ}$。

答案： 57.5 【解析】
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ ∠ADC = 90°.
∵ ∠ADF = 25°，
∴ ∠CDF = ∠ADC - ∠ADF = 90° - 25° = 65°.
∵ DF = DC，
∴ ∠ECD = ∠DFC = $\frac{180° - ∠CDF}{2}$ = 57.5°.

11. 如图,在矩形$ABCD$中,$AE = CF$,连接$DE$,$BF$。
(1)求证：四边形$BEDF$是平行四边形；
(2)取$DE$,$BF的中点M$,$N$连接,若$AB = 8$,$BC = 4$,$CF = 3$,试求线段$MN$的长度。

(1)证明：∵ 四边形ABCD是矩形，∴ AB//CD，AB = CD.∵ AE = CF，∴ AB - AE = CD - CF，即BE = DF.又 ∵ BE//DF，∴ 四边形BEDF是平行四边形.
(2)解：∵ 四边形BEDF是平行四边形，∴ DE//BF 且 DE = BF.∵ M为DE中点，N为BF中点，∴ DM = $\frac{1}{2}$DE，FN = $\frac{1}{2}$BF.∴ DM = FN.又 ∵ DM//FN.∴ 四边形DMNF是平行四边形.∴ MN = DF = CD - CF = AB - CF = 5.

答案： 解：
(1)
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ AB//CD，AB = CD.
∵ AE = CF，
∴ AB - AE = CD - CF，即BE = DF.
又
∵ BE//DF，
∴ 四边形BEDF是平行四边形.
(2)
∵ 四边形BEDF是平行四边形，
∴ DE//BF 且 DE = BF.
∵ M为DE中点，N为BF中点，
∴ DM = $\frac{1}{2}$DE，FN = $\frac{1}{2}$BF.
∴ DM = FN.
又
∵ DM//FN.
∴ 四边形DMNF是平行四边形.
∴ MN = DF = CD - CF = AB - CF = 5.

12. 如图,公路$AC$,$BC$互相垂直,公路$AB的中点M与点C$被湖隔开,若测得$AM的长为1.2km$,则$M$,$C$两点间的距离为(D)

A.$0.5km$
B.$0.6km$
C.$0.9km$
D.$1.2km$

答案： D

13. 已知$Rt\triangle ABC$,$\angle ACB = 90^{\circ}$,点$D是AB$边上的中点,若$\angle A = 28^{\circ}$,则$\angle CDB = $( )

A.$28^{\circ}$
B.$34^{\circ}$
C.$56^{\circ}$
D.$62^{\circ}$

答案：
C 【解析】如图，

∵ ∠ACB = 90°，点D是AB边上的中点，
∴ CD = AD = $\frac{1}{2}$AB.
∴ ∠ACD = ∠A = 28°.
∴ ∠CDB = ∠A + ∠ACD = 56°.
故选C.

14. 如图,在$\triangle ABC$中,$AB = AC$,$AD\perp BC$,垂足为$D$,$E是AC$的中点。若$DE = 4$,则$AB$的长为______8。

答案： 8

15. 在数学活动课上,老师和同学们判断一个四边形门框是否为矩形,下面是一个学习小组拟定的方案,其中正确的是(D)
A.测量对角线是否相互平分
B.测量两组对边是否分别相等
C.测量对角线是否相等
D.测量其中三个角是否都为直角

答案： D

16. 如图所示,在$□ ABCD$中,对角线$AC$、$BD相交于点O$,下列条件不能判定平行四边形$ABCD$为矩形的是(C)

A.$\angle ABC = 90^{\circ}$
B.$AC = BD$
C.$AD = AB$
D.$\angle BAD = \angle ADC$

答案： C 【解析】根据有一个角是直角的平行四边形是矩形能判定平行四边形ABCD为矩形，故此选项不符合题意；
B. 根据对角线相等的平行四边形是矩形能判定平行四边形ABCD为矩形，故此选项不符合题意；
C. 不能判定平行四边形ABCD为矩形，故此选项符合题意；
D.
∵ 平行四边形ABCD中，AB//CD，
∴ ∠BAD + ∠ADC = 180°.
又
∵ ∠BAD = ∠ADC，
∴ ∠BAD = ∠ADC = 90°.
根据有一个角是直角的平行四边形是矩形能判定平行四边形ABCD为矩形，故此选项不符合题意. 故选C.

17. 已知：如图,点$D是\triangle ABC的边AB$上一点,$CN// AB$,$DN交AC于点M$,若$MA = MC$,$\angle BAN = 90^{\circ}$,求证：四边形$ADCN$是矩形。
证明：∵ CN//AB，
∴ ∠DAM = ∠NCM.
在 △AMD 和 △CMN 中，
{∠DAM = ∠NCM,
MA = MC,
∠AMD = ∠CMN,
∴ △AMD ≌ △CMN(ASA).
∴ AD = CN.
又 ∵ AD//CN，
∴ 四边形ADCN是平行四边形.
又 ∵ ∠BAN = 90°，
∴ 四边形ADCN是矩形.

答案： 证明：
∵ CN//AB，
∴ ∠DAM = ∠NCM.
在 △AMD 和 △CMN 中，
{∠DAM = ∠NCM,
MA = MC,
∠AMD = ∠CMN,
∴ △AMD ≌ △CMN(ASA).
∴ AD = CN.
又
∵ AD//CN，
∴ 四边形ADCN是平行四边形.
又
∵ ∠BAN = 90°，
∴ 四边形ADCN是矩形.

18. 如图,菱形花坛$ABCD的面积为12$平方米,其中沿对角线$AC$修建的小路长为4米,则沿对角线$BD$修建的小路长为(B)

A.$3$米
B.$6$米
C.$8$米
D.$10$米

答案： B

19. 如图,在菱形$ABCD$中,点$E为对角线BD$上的点,且$BA = BE$。若$\angle ABC = 80^{\circ}$,则$\angle BAE$的大小是(C)

A.$30^{\circ}$
B.$40^{\circ}$
C.$70^{\circ}$
D.$80^{\circ}$

答案： C 【解析】
∵ 四边形ABCD是菱形，∠ABC = 80°，
∴ ∠ABE = ∠CBE = $\frac{1}{2}$∠ABC = 40°，
∵ BA = BE，
∴ ∠BAE = ∠BEA = $\frac{1}{2}$(180° - 40°) = 70°. 故选C.