《2025年鲁人泰斗假期好时光八年级数学青岛版》

5. 一张等腰三角形纸片,底边长$15cm$,底边上的高长$22.5cm$。现沿底边依次从下往上裁剪宽度均为$3cm$的矩形纸条,如图所示。已知剪得的纸条中有一张是正方形,则这张正方形纸条是(C)
A. 第$4$张
B. 第$5$张
D. 第$7$张

答案： C　[解析]根据相似三角形的相似比求得顶点到这个正方形上面边的距离，再根据矩形的宽求得是第几张.已知剪得的纸条中有一张是正方形,则正方形中平行于底边的长是3,所以根据相似三角形的性质可设从顶点到这个正方形的上面边的距离为x,则$\frac{3}{15}$=$\frac{x}{22.5}$,解得x=4.5，所以另一段长为22.5−4.5=18,因为18÷3=6,所以是第六张.故选C.

6. 两相似三角形的相似比为$3:5$,它们的面积和为$102cm^{2}$,则较大三角形的面积为75cm²。

答案： 75cm²　[解析]
∵两相似三角形的相似比为3:5,
∴两相似三角形的面积比为9:25.
∵面积和为102cm²,
∴较大三角形的面积=$\frac{102}{9+25}$×25=75(cm²).

7. 已知$\triangle ABC与\triangle DEF$相似,如果$\triangle ABC三边长分别为5$,$7$,$8$,$\triangle DEF的最长边与最短边的差为9$,那么$\triangle DEF$的周长是______60。

答案： 60　[解析]设△DEF的最长边为x,最短边为y,
依题意，则有$\begin{cases} x:y = 8:5, \\ x - y = 9, \end{cases}$
解得x=24,y=15.
∴△ABC和△DEF的相似比为1:3,周长比也是1:3.
∵△ABC的周长=5+7+8=20,
∴△DEF的周长为60.

8. 如图,一条河的两岸有一段是平行的,在河的南岸边每隔$5$米有一棵树,在北岸边每隔$50$米有一根电线杆。小丽站在离南岸边$15米的点P$处看北岸,发现北岸相邻的两根电线杆恰好被南岸的两棵树遮住,并且在这两棵树之间还有三棵树,则河宽为22.5米。

答案： 22.5

9. 如图,$\triangle ABC\backsim\triangle A'B'C'$,$AD$,$A'D'$分别是它们的中线,求证：$AD:A'D' = AB:A'B'$。
证明:∵AD,A'D'分别是△ABC和△A'B'C'的中线,
∴BD=$\frac{1}{2}$BC,B'D'=$\frac{1}{2}$B'C'.
∵△ABC∽△A'B'C',
∴∠B=∠B'，$\frac{AB}{A'B'}$=$\frac{BC}{B'C'}$=$\frac{2BD}{2B'D'}$=$\frac{BD}{B'D'}$.
∴△ABD∽△A'B'D'.
∴AD:A'D'=AB:A'B'.

答案： 证明:
∵AD,A'D'分别是△ABC和△A'B'C'的中线,
∴BD=$\frac{1}{2}$BC,B'D'=$\frac{1}{2}$B'C'.
∵△ABC∽△A'B'C',
∴∠B=∠B'，$\frac{AB}{A'B'}$=$\frac{BC}{B'C'}$=$\frac{2BD}{2B'D'}$=$\frac{BD}{B'D'}$.
∴△ABD∽△A'B'D'.
∴AD:A'D'=AB:A'B'.