《2025年鲁人泰斗假期好时光八年级数学青岛版》

13. 如图,$AC$ 是菱形 $ABCD$ 的对角线,$P$ 是 $AC$ 上的一个动点,过点 $P$ 分别作 $AB$ 和 $BC$ 的垂线,垂足分别是点 $F$ 和点 $E$,若菱形的周长是 $12cm$,面积是 $6cm^{2}$,则 $PE + PF$ 的值是______ $cm$.

答案：
2 【解析】如图，连接 $BP$．

$\because S _ { \triangle A B C } = S _ { \triangle A B P } + S _ { \triangle B P C } = \frac { 1 } { 2 } S _ { \text { 菱形 } A B C D } = 3 ( \mathrm { cm } ^ { 2 } )$，$AB = BC = \frac { 1 } { 4 } × 12 = 3 ( \mathrm { cm } )$，
$\therefore S _ { \triangle A B P } + S _ { \triangle B P C } = \frac { 1 } { 2 } AB \cdot PF + \frac { 1 } { 2 } BC \cdot PE = 3 ( \mathrm { cm } ^ { 2 } )$．
$\therefore \frac { 1 } { 2 } × 3 × PF + \frac { 1 } { 2 } × 3 × PE = 3$．
$\therefore PF + PE = 3 × \frac { 2 } { 3 } = 2 ( \mathrm { cm } )$．

14. 在 $□ ABCD$ 中,对角线 $AC$,$BD$ 交于点 $O$,点 $E$ 是边 $AD$ 上的一个动点(与点 $A$,$D$ 不重合),连接 $OE$ 并延长,交 $BC$ 于点 $F$,连接 $BE$,$DF$.下列说法：
①对于任意的点 $E$,四边形 $BEDF$ 都是平行四边形；
②当 $\angle ABC＞90^{\circ}$ 时,至少存在一个点 $E$,使得四边形 $BEDF$ 是矩形；
③当 $AB＜AD$ 时,至少存在一个点 $E$,使得四边形 $BEDF$ 是菱形；
④当 $\angle ADB = 45^{\circ}$ 时,至少存在一个点 $E$,使得四边形 $BEDF$ 是正方形.
所有正确说法的序号是______.

答案：
①②③④ 【解析】$\because$ 四边形 $ABCD$ 为平行四边形，对角线 $AC$ 与 $BD$ 交于点 $O$，
$\therefore AD // BC$，$AD = BC$，$OA = OC$，$OB = OD$．
$\therefore \angle ODE = \angle OBF$．
$\because \angle DOE = \angle BOF$，
$\therefore \triangle DOE \cong \triangle BOF ( \mathrm { ASA } )$．
$\therefore DE = BF$．
又 $\because DE // BF$，
$\therefore$ 四边形 $BEDF$ 为平行四边形，
即 $E$ 在 $AD$ 上任意位置（不与 $A$、$D$ 重合）时，四边形 $BEDF$ 恒为平行四边形，故选项①正确；
当 $BE \perp BC$ 时，四边形 $BEDF$ 是矩形，故选项②正确；
如图，

当 $EF \perp BD$ 时，四边形 $BEDF$ 为菱形，由于 $AB ＜ AD$，即 $AB ＜ AE + BE$，可以保证点 $E$ 在 $AD$ 上，故一定存在点 $E$ 满足要求，故选项③正确；
由②可知，$\angle ADB = 45^{\circ}$，四边形 $BEDF$ 是正方形，故选项④正确．

15. (8 分)已知,如图,在 $□ ABCD$ 中,延长 $AB$ 至点 $E$,延长 $CD$ 至点 $F$,使得 $BE = DF$.连接 $EF$,与对角线 $AC$ 交于点 $O$.求证：$OE = OF$.

证明：$\because$ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形，
$\therefore AB // CD$，$AB = CD$．
$\because BE = DF$，$\therefore AB + BE = CD + DF$，即 $AE = CF$．
$\because AB // CD$，$\therefore AE // CF$．$\therefore \angle E = \angle F$，$\angle OAE = \angle OCF$．
在 $\triangle AOE$ 和 $\triangle COF$ 中，
$\left\{ \begin{array} { l } { \angle E = \angle F }, \\ { AE = CF }, \\ { \angle OAE = \angle OCF }, \end{array} \right.$
$\therefore \triangle AOE \cong \triangle COF ( \mathrm { ASA } )$．$\therefore OE = OF$．

答案： 证明：$\because$ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形，
$\therefore AB // CD$，$AB = CD$．
$\because BE = DF$，$\therefore AB + BE = CD + DF$，即 $AE = CF$．
$\because AB // CD$，$\therefore AE // CF$．$\therefore \angle E = \angle F$，$\angle OAE = \angle OCF$．
在 $\triangle AOE$ 和 $\triangle COF$ 中，
$\left\{ \begin{array} { l } { \angle E = \angle F }, \\ { AE = CF }, \\ { \angle OAE = \angle OCF }, \end{array} \right.$
$\therefore \triangle AOE \cong \triangle COF ( \mathrm { ASA } )$．$\therefore OE = OF$．

16. (10 分)如图,若在正方形 $ABCD$ 中,点 $E$ 为 $CD$ 边上一点,点 $F$ 为 $AD$ 延长线上一点,且 $DE = DF$,则 $AE$ 与 $CF$ 之间有怎样的数量关系和位置关系？请说明理由.

答案：
解：$AE = CF$，$AE \perp CF$，理由如下：
如图，延长 $AE$ 交 $CF$ 于点 $G$，

$\because$ 四边形 $ABCD$ 是正方形，
$\therefore AD = CD$，$\angle ADC = \angle CDF = 90^{\circ}$．
在 $\triangle ADE$ 和 $\triangle CDF$ 中，
$\left\{ \begin{array} { l } { AD = CD }, \\ { \angle ADE = \angle CDF }, \\ { DE = DF }, \end{array} \right.$
$\therefore \triangle ADE \cong \triangle CDF ( \mathrm { SAS } )$．
$\therefore AE = CF$，$\angle DAE = \angle DCF$．
$\because \angle DCF + \angle F = 90^{\circ}$，
$\therefore \angle DAE + \angle F = 90^{\circ}$．
$\therefore AG \perp CF$，即 $AE \perp CF$．
$\therefore AE = CF$，$AE \perp CF$．

17. (10 分)如图,点 $B$,$E$ 分别在 $AC$,$DF$ 上,$AF$ 分别交 $BD$,$CE$ 于点 $M$,$N$,$\angle A= \angle F$,$\angle 1= \angle 2$.
(1)求证：四边形 $BCED$ 是平行四边形；
证明：$\because \angle A = \angle F$，
$\therefore$ $DE // BC$．
$\because \angle 1 = \angle 2$，且 $\angle 1 =$ $\angle DMF$，
$\therefore \angle DMF = \angle 2$．
$\therefore$ $DB // EC$．
$\therefore$ 四边形 $BCED$ 为平行四边形．
(2)已知 $DE = 2$,连接 $BN$,若 $BN$ 平分 $\angle DBC$,求 $CN$ 的长.
解：$\because BN$ 平分 $\angle DBC$，
$\therefore \angle DBN = \angle CBN$．
$\because EC // DB$,$\therefore \angle CNB =$ $\angle DBN$．
$\therefore \angle CNB = \angle CBN$．
$\therefore CN =$ $BC$$= DE =$ $2$．

答案： 解：
(1) 证明：$\because \angle A = \angle F$，
$\therefore DE // BC$．
$\because \angle 1 = \angle 2$，且 $\angle 1 = \angle DMF$，
$\therefore \angle DMF = \angle 2$．
$\therefore DB // EC$．
$\therefore$ 四边形 $BCED$ 为平行四边形．
(2) $\because BN$ 平分 $\angle DBC$，
$\therefore \angle DBN = \angle CBN$．
$\because EC // DB$,$\therefore \angle CNB = \angle DBN$．
$\therefore \angle CNB = \angle CBN$．
$\therefore CN = BC = DE = 2$．

18. (10 分)如图,在 $□ ABCD$ 中,点 $O$ 是 $BC$ 的中点,连接 $DO$ 并延长,交 $AB$ 的延长线于点 $E$,连接 $BD$,$EC$.
(1)求证：四边形 $BECD$ 是平行四边形；
(2)若 $\angle A = 50^{\circ}$,则当 $\angle ADE= $______90$^{\circ}$ 时,四边形 $BECD$ 是菱形.

答案： 解：
(1) 证明：$\because$ 四边形 $ABCD$ 为平行四边形，
$\therefore AB // DC$，$AB = CD$．
$\therefore \angle OEB = \angle ODC$．
又 $\because O$ 为 $BC$ 的中点，$\therefore BO = CO$．
在 $\triangle BOE$ 和 $\triangle COD$ 中，
$\left\{ \begin{array} { l } { \angle OEB = \angle ODC }, \\ { \angle BOE = \angle COD }, \\ { BO = CO }, \end{array} \right.$
$\therefore \triangle BOE \cong \triangle COD ( \mathrm { AAS } )$．
$\therefore OE = OD$．
$\therefore$ 四边形 $BECD$ 是平行四边形．
(2) 当 $\angle ADE = 90^{\circ}$ 时，四边形 $BECD$ 是菱形．理由如下：
$\because \angle A = 50^{\circ}$，$\angle ADE = 90^{\circ}$，
$\therefore \angle AED = 40^{\circ}$．
$\because$ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形，
$\therefore AD // BC$．
$\therefore \angle CBE = \angle A = 50^{\circ}$．
$\therefore \angle BOE = 90^{\circ}$．
$\therefore BC \perp DE$．
$\therefore$ 四边形 $BECD$ 是菱形．