《2025年鲁人泰斗假期好时光八年级数学青岛版》

14. 如图,在平面直角坐标系中,$ \triangle ABC $ 的顶点坐标分别是点 $ A(1,1) $,$ B(3,1) $,$ C(2,2) $,当直线 $ y = kx - \frac{1}{2}k + \frac{3}{2} $ 与 $ \triangle ABC $ 有公共点时,$ k $ 的取值范围是______。

答案：
14.−1≤k≤$\frac{1}{3}$
[解析]
∵y=kx−$\frac{1}{2}$k+$\frac{3}{2}$=k(x−$\frac{1}{2}$)+$\frac{3}{2}$,
∴直线经过点($\frac{1}{2}$,$\frac{3}{2}$).把A(1,1)代入y=kx−$\frac{1}{2}$k+$\frac{3}{2}$,得1=$\frac{1}{2}$k+$\frac{3}{2}$,解得k =−1;把C(2,2)代入y=kx−$\frac{1}{2}$k+$\frac{3}{2}$,得2=$\frac{3}{2}$k+$\frac{3}{2}$,解得k =$\frac{1}{3}$,所以当直线y=kx−$\frac{1}{2}$k+$\frac{3}{2}$与△ABC有公共点时,k的取值范围是−1≤k≤$\frac{1}{3}$.
　　　　　　　　　　　　

15. (8分)一次函数的图象经过点 $ A(0,4) $ 和 $ B(2,0) $ 两点。
(1)求这个一次函数的表达式；
(2)线段 $ AB $ 与第一象限的角平分线交于点 $ P $,则点 $ P $ 的坐标为______($\frac{4}{3}$,$\frac{4}{3}$)。

答案： 15.解:
(1)设一次函数表达式为y=kx+b(k≠0),将点A(0,4)和点B(2,0)代入,得$\begin{cases}b = 4\\2k + b = 0\end{cases}$,解得$\begin{cases}k = -2\\b = 4\end{cases}$,
∴一次函数表达式为y=−2x+4.
(2)
∵第一象限角平分线表达式为y=x,
∴点P的坐标是直线AB与直线y=x的交点,即$\begin{cases}y = -2x + 4\\y = x\end{cases}$,解得$\begin{cases}x = \frac{4}{3}\\y = \frac{4}{3}\end{cases}$,
∴点P的坐标为($\frac{4}{3}$,$\frac{4}{3}$).

16. (8分)已知正比例函数 $ y_1 = -2x $ 的图象如图。
(1)在平面直角坐标系中,画出一次函数 $ y_2 = 2x - 4 $ 的图象；
(2)若 $ y_2 ＜ y_1 $,则 $ x $ 的取值范围是多少？

答案：
16.解:
(1)当x=0时,y=−4;当y=0时,x=2,
∴y=2x−4与x轴交点为(2,0),与y轴交点为(0,−4),图象如图所示.
　　　　　　　
(2)由$\begin{cases}y_1 = -2x\\y_2 = 2x - 4\end{cases}$,解得$\begin{cases}x = 1\\y = -2\end{cases}$.由图象可得,当x＜1时,$y_2＜y_1$.

17. (10分)一个有进水管与出水管的容器,从某时刻开始4分钟内只进水不出水,在随后的8分钟内既进水又出水,12分钟后关闭进水管,放空容器中的水,每分钟的进水量和出水量是两个常数。容器内水量 $ y $(单位：升)与时间 $ x $(单位：分钟)之间的关系如图所示。
(1)每分钟进水5升？
(2)当 $ 4 ＜ x \leq 12 $ 时,求 $ y $ 关于 $ x $ 的函数表达式；$ y=\frac{5}{4}x+15 $
(3)容器中储水量不低于15升的时长是13分钟？

答案： 17.解:
(1)根据题意,每分钟进水20÷4=5(升).
(2)当4＜x≤12时,设y随x变化的函数表达式为y=kx+b.
∵图象过点(4,20)、(12,30),
∴$\begin{cases}4k + b = 20\\12k + b = 30\end{cases}$,解得$\begin{cases}k = \frac{5}{4}\\b = 15\end{cases}$,
∴y=$\frac{5}{4}$x+15.
(3)由图象可得，每分钟的出水量为$\frac{(12 - 4)×5 - 10}{12 - 4}=\frac{15}{4}$(升),当0＜x＜4时,$\frac{15}{5}$=3(分钟);当x＞12时,(30−15)÷$\frac{15}{4}$=4(分钟),所以容器中储水量不低于15升的时长是(12+4)−3=13 (分钟).

18. (10分)如图,在平面直角坐标系中,直线 $ y = 2x + 3 $ 与 $ y $ 轴交于点 $ A $,直线 $ y = kx - 1 $ 与 $ y $ 轴交于点 $ B $,与直线 $ y = 2x + 3 $ 交于点 $ C(-1,n) $。
(1)求 $ n $,$ k $ 的值；$ n $的值为1,$ k $的值为-2.
(2)求 $ \triangle ABC $ 的面积。$ \triangle ABC $的面积为2.

答案： 18.解:
(1)当x=−1时,n=2x+3=1,
∴点C的坐标为(−1,1).
∵点C(−1,1)在直线y=kx−1上,
∴1=−k−1,解得k=−2.
∴n的值为1,k的值为−2.
(2)当x=0时,y=2x+3=3,
∴点A的坐标为(0,3);当x=0时,y=−2x−1=−1,
∴点B的坐标为(0,−1).
∴AB=3−(−1)=4.
∴$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AB\cdot|x_C|=\frac{1}{2}×4×1 = 2$.