《2025年鲁人泰斗假期好时光八年级数学青岛版》

22. (6分)如图,在一条东西走向河流的一侧有一村庄$C$,河边原有两个取水点$A$,$B$,其中$AB= AC$,由于某种原因,由$C到A$的路现在已经不通,该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点$H$($A$、$H$、$B$在同一条直线上),并新修一条路$CH$,测得$CB= 1.5$千米,$CH= 1.2$千米,$HB= 0.9$千米.
(1)问$CH是否为从村庄C$到河边最近的路？请通过计算加以说明；
答：是
(2)求新路$CH比原路CA$少多少千米？
答：0.05千米

答案： 22. 解:
(1) 是.
理由: 在$\triangle CHB$中,
$\because CH^{2}+BH^{2}=(1.2)^{2}+(0.9)^{2}=2.25$,
$BC^{2}=2.25$,
$\therefore CH^{2}+BH^{2}=BC^{2}$.
$\therefore CH\perp AB$.
所以$CH$是从村庄$C$到河边的最近路.
(2) 设$AC = x$千米,
在$Rt\triangle ACH$中,由已知得$AC = x,AH = x - 0.9$, $CH = 1.2$,
由勾股定理,得$AC^{2}=AH^{2}+CH^{2}$,
$\therefore x^{2}=(x - 0.9)^{2}+(1.2)^{2}$.
解得$x = 1.25$. $1.25 - 1.2 = 0.05$(千米).
答: 新路$CH$比原路$CA$少$0.05$千米.

23. (6分)如图,直线l_{1}的函数表达式为y= 3x-2,且直线l_{1}与x轴交于点D.直线l_{2}与x轴交于点A,且经过点B(4,1),直线l_{1}与l_{2}交于点C(m,3).
(1)求点D和点C的坐标；
点D的坐标为($\frac{2}{3},0$)，点C的坐标为($\frac{5}{3},3$)
(2)求直线l_{2}的函数表达式；
直线l_{2}的函数表达式为$y=-\frac{6}{7}x+\frac{31}{7}$
$\begin{cases}x=\frac{5}{3}\\y=3\end{cases}$

答案： 23. 解：
(1)在$y=3x-2$中，令$y=0$，即$3x-2=0$，解得$x=\frac{2}{3}$，$\therefore D\left(\frac{2}{3},0\right)$。
$\because$点$C(m,3)$在直线$y=3x-2$上，$\therefore 3m-2=3$，解得$m=\frac{5}{3}$，$\therefore C\left(\frac{5}{3},3\right)$。
(2)设直线$l_2$的函数表达式为$y=kx+b(k\neq0)$，由题意得：
$\begin{cases}\frac{5}{3}k+b=3\\4k+b=1\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=-\frac{6}{7}\\b=\frac{31}{7}\end{cases}$，$\therefore y=-\frac{6}{7}x+\frac{31}{7}$。
(3)$\begin{cases}x=\frac{5}{3}\\y=3\end{cases}$。