《2025年鲁人泰斗假期好时光八年级数学青岛版》

6. 如图,已知$△OAB$是正三角形,$OP⊥OB,OP= OA$,将$△OAB$绕点 O 按顺时针方向旋转,使得 OA 与 OP 重合,得到$△OPQ$,则旋转的角度是150°

A.$60^{\circ }$
B.$90^{\circ }$
C.$120^{\circ }$
D.$150^{\circ }$

答案： 6. D【解析】$\because \triangle OAB$是正三角形，
$\therefore \angle BOA=60^{\circ}$。
$\because OP\perp OB$，
$\therefore \angle BOP=90^{\circ}$。
$\therefore \angle AOP=\angle BOA+\angle BOP=60^{\circ}+90^{\circ}=150^{\circ}$，即旋转角是$150^{\circ}$。故选 D。

7. (D)某数学兴趣小组开展动手操作活动,设计了如图所示的三种图形,现计划用铁丝按照图形制作相应的造型,则所用铁丝的长度关系是

A.甲种方案所用铁丝最长
B.乙种方案所用铁丝最长
C.丙种方案所用铁丝最长
D.三种方案所用铁丝一样长

答案： 7. D

8. 如图,将$Rt△ABC$绕直角顶点 C 顺时针旋转$90^{\circ }$,得到$△A'B'C$,连接$AA'$,若$∠1= 25^{\circ }$,则$∠BAA'$的度数是C

A.$55^{\circ }$
B.$60^{\circ }$
C.$65^{\circ }$
D.$70^{\circ }$

答案： 8. C

9. 如图,将$△ABC$沿 BC 所在的直线平移得到$△DEF$.如果$GC= 2,DF= 4.5$,那么$AG= $2.5.

答案： 9. $2.5$

10. 点$(a,1)与点(-2,b)$关于原点对称,则$ab= $$-2$.

答案： 10. $-2$

11. 如图,点 E 是正方形 ABCD 中 CD 边上的中点,$AB= 4$,把$△ADE$绕点 A 顺时针旋转$90^{\circ }得到△ABF$,若连接 EF,则$EF= $____.

答案：
11. $2\sqrt{10}$【解析】如图，连接$EF$。

$\because$把$\triangle ADE$绕点$A$顺时针旋转$90^{\circ}$得到$\triangle ABF$，
$\therefore AE=AF$，$\angle EAF=90^{\circ}$。
$\because$四边形$ABCD$是正方形，
$\therefore AB=CD=AD=4$。
$\because E$是$CD$的中点，
$\therefore DE=\frac{1}{2}CD=2$。
$\therefore AE=\sqrt{AD^{2}+DE^{2}}=\sqrt{4^{2}+2^{2}}=2\sqrt{5}$。
$\therefore EF=\sqrt{AE^{2}+AF^{2}}=\sqrt{(2\sqrt{5})^{2}+(2\sqrt{5})^{2}}=2\sqrt{10}$。

12. 如图,已知$△AOB与△DOC$成中心对称,$△AOB$的面积是 6,$AB= 4$,则$△DOC$中 CD 边上的高是____3.

答案： 12. $3$

13. 如图,四边形 ABCD 是菱形,点 O 是两条对角线的交点,过点 O 的三条直线将菱形分成阴影和空白部分.当菱形的两条对角线的长分别为 6 和 8 时,则阴影部分的面积为____12.

答案： 13. $12$【解析】$\because$菱形的两条对角线的长分别为$6$和$8$，
$\therefore$菱形的面积$=\frac{1}{2}× 6× 8=24$。
$\because O$是菱形两条对角线的交点，
$\therefore$阴影部分的面积$=\frac{1}{2}× 24=12$。

14. 如图,在$Rt△ABC$中,$∠ACB= 90^{\circ }$,将$△ABC$绕顶点 C 逆时针旋转得到$△A'B'C$,点 M 是 BC 的中点,点 P 是$A'B'$的中点,连接 PM,若$BC= 2,∠BAC= 30^{\circ }$,则线段 PM 的最大值是____.

答案：
14. $3$【解析】如图，连接$PC$。
在$Rt\triangle ABC$中，$\because \angle A=30^{\circ}$，$BC=2$，
$\therefore AB=4$。
根据旋转不变性可知，$A'B'=AB=4$，
$\because$点$P$为$A'B'$的中点，
$\therefore PC=\frac{1}{2}A'B'=2$。
$\because CM=BM=1$，
且$PM\leq PC+CM$，$\therefore PM\leq 3$，
$\therefore PM$的最大值为$3$（此时$P$，$C$，$M$共线）。

15. (8分)如图,在平面直角坐标系中,$△ABC三个顶点的坐标分别是A(2,4),B(1,1),C(4,3)$,请画出$△ABC关于原点对称的△A_{1}B_{1}C_{1}$,并分别写出$A_{1},B_{1},C_{1}$的坐标.

答案：
15. 解：如图所示，$\triangle A_{1}B_{1}C_{1}$即为所求，点$A_{1}$，$B_{1}$，$C_{1}$的坐标分别为$(-2,-4)$，$(-1,-1)$，$C(-4,-3)$。

16. (8分)如图,在网格中,每个小正方形的边长均为1个单位长度,我们将小正方形的顶点叫做格点,线段 AB 的端点均在格点上.
(1)将线段 AB 向右平移 3 个单位长度,得到线段$A'B'$,画出平移后的线段并连接$AB'和A'B$,两线段相交于点 O;
(2)求证:$△AOB\cong △B'OA'.$

答案：
16. 解：（1）如图所示。

（2）证明：$\because AB// A'B'$，
$\therefore \angle A=\angle B'$，$\angle B=\angle A'$。
在$\triangle AOB$和$\triangle B'OA'$中，
$\left\{\begin{array}{l}\angle A=\angle B'\\ AB=B'A'\\ \angle B=\angle A'\end{array}\right.$，
$\therefore \triangle AOB\cong \triangle B'OA'(ASA)$。