《2025年鲁人泰斗假期好时光八年级数学青岛版》

1. 在 $ Rt\triangle ABC $ 中,$ \angle C = 90^{\circ} $,$ BC = 4 $,$ AC = 3 $,则 $ \sin B $ 的值为(B)
A.$ \frac{4}{5} $
B.$ \frac{3}{5} $
C.$ \frac{3}{7} $
D.$ \frac{3}{4} $

答案： B　[解析]
∵∠C = 90°,BC = 4,AC = 3,
∴AB = $\sqrt{3^2 + 4^2} = 5$。$\therefore \sin B = \frac{AC}{AB} = \frac{3}{5}$。故选B。

2. 已知 $ Rt\triangle ABC $ 中,$ \angle C = 90^{\circ} $,$ \sin A = \frac{5}{13} $,$ BC = 10 $,则 $ AB $ 等于(A)
A.26
B.32
C.24
D.12

答案： A

3. 如图,已知 $ \triangle ABC $ 的三个顶点均在格点上,则 $ \cos A $ 的值为( )


A.$ \frac{\sqrt{3}}{3} $
B.$ \frac{\sqrt{5}}{5} $
C.$ \frac{2\sqrt{3}}{3} $
D.$ \frac{2\sqrt{5}}{5} $

答案：
D　[解析]过点B作BD⊥AC,如图,由勾股定理，得AB = $\sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{10}$，AD = $\sqrt{2^2 + 2^2} = 2\sqrt{2}$，$\therefore \cos A = \frac{AD}{AB} = \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{10}} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$。故选D。

4. 在 $ \triangle ABC $ 中,$ \angle C = 90^{\circ} $,$ \tan A = 3 $,则 $ \sin A $ 的值是(C)
A.$ \frac{3}{4} $
B.$ \frac{1}{2} $
C.$ \frac{3\sqrt{10}}{10} $
D.$ \frac{\sqrt{10}}{10} $

答案： C　[解析]
∵∠C = 90°,tanA = $\frac{BC}{AC} = 3$，设AC = x,则BC = 3x,
∴AB = $\sqrt{BC^2 + AC^2} = \sqrt{10}x$。$\therefore \sin A = \frac{BC}{AB} = \frac{3x}{\sqrt{10}x} = \frac{3\sqrt{10}}{10}$。故选C。

5. 如图,在平面直角坐标系中,$ P $ 是第一象限内的点,其坐标是 $ (3, m) $,且 $ OP $ 与 $ x $ 轴正半轴的夹角 $ \alpha $ 的正切值是 $ \frac{4}{3} $,则 $ \sin \alpha $ 的值是( )


A.$ \frac{4}{5} $
B.$ \frac{5}{4} $
C.$ \frac{3}{5} $
D.$ \frac{5}{3} $

答案：
A　[解析]如图,过点P作PH⊥x轴于点H。
∵点P是第一象限内的点，其坐标是(3,m),
∴OH = 3,PH = m。又
∵OP与x轴正半轴的夹角α的正切值是$\frac{4}{3}$，即$\tan \alpha = \frac{PH}{OH} = \frac{4}{3}$，$\therefore \frac{m}{3} = \frac{4}{3}$，$\therefore m = 4$。根据勾股定理，得OP = 5。$\sin \alpha = \frac{PH}{OP} = \frac{4}{5}$。故选A。

6. 如图,点 $ A $ 为 $ \angle \alpha $ 边上任意一点,作 $ AC \perp BC $ 于点 $ C $,$ CD \perp AB $ 于点 $ D $,下列用线段比表示 $ \cos \alpha $ 的值,错误的是(C)

A.$ \frac{BD}{BC} $
B.$ \frac{BC}{AB} $
C.$ \frac{AD}{AC} $
D.$ \frac{CD}{AC} $

答案： C　[解析]A.在Rt△BCD中,$\cos \alpha = \frac{BD}{BC}$，正确;B.在Rt△ABC中,$\cos \alpha = \frac{BC}{AB}$，正确;C、D.在Rt△ACD中,
∵∠ACD = α,
∴$\cos \alpha = \frac{CD}{AC}$，故C错误，D正确。故选C。

7. 在 $ Rt\triangle ABC $ 中,$ \angle C = 90^{\circ} $,$ AB = 15 $,$ \sin A = \frac{4}{5} $,那么 $ BC = $______12.

答案： 12　[解析]
∵∠C = 90°,
∴$\sin A = \frac{BC}{AB} = \frac{4}{5}$，$\therefore BC = \frac{4}{5}AB = \frac{4}{5} × 15 = 12$。

8. 如图,在正方形网格中,$ \angle ABO $ 的正切值是______1.

答案： 1

9. 在 $ Rt\triangle ABC $ 中,$ \angle C = 90^{\circ} $,$ a $,$ b $,$ c $ 分别是 $ \angle A $、$ \angle B $、$ \angle C $ 的对边.
(1)已知 $ c = 2\sqrt{3} $,$ b = \sqrt{6} $,求 $ \sin B $；$\frac{\sqrt{2}}{2}$
(2)已知 $ c = 12 $,$ \sin A = \frac{1}{3} $,求 $ b $；$8\sqrt{2}$

答案： 解:
(1)
∵c = $2\sqrt{3}$，b = $\sqrt{6}$，$\sin B = \frac{b}{c} = \frac{\sqrt{6}}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$。
(2)
∵c = 12，$\sin A = \frac{1}{3} = \frac{a}{c}$，
∴a = 4。$\therefore b = \sqrt{c^2 - a^2} = 8\sqrt{2}$。