《2025年鲁人泰斗假期好时光八年级数学青岛版》

1. 根据相似多边形的定义,三角分别相等,三边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形.

答案： 1.相等　对应成比例

2. 两角分别相等的两个三角形相似.

答案： 2.两角

【典型例题 2】如图,在$\triangle ABC$中,点$D在AB$边上,$\angle ABC= \angle ACD$.求证：$\triangle ABC\backsim\triangle ACD$.

答案： 证明：在$\triangle ABC与\triangle ACD$中,
$\because \angle ABC= \angle ACD$,$\angle A= \angle A$,
$\therefore \triangle ABC\backsim\triangle ACD$.

1. 如图,在$\triangle ABC$中,$\angle AED= \angle B$,则下列等式成立的是(C)

A.$\frac{DE}{BC}= \frac{AD}{DB}$
B.$\frac{AE}{BC}= \frac{AD}{BD}$
C.$\frac{DE}{CB}= \frac{AE}{AB}$
D.$\frac{AD}{AB}= \frac{AE}{AC}$

答案： 1.C　[解析]
∵∠AED=∠B,∠A=∠A,
∴△ADE∽△ACB,
∴$\frac{AD}{AC}$=$\frac{AE}{AB}$=$\frac{DE}{CB}$.故选C;

2. 如图,已知$\triangle ABC与\triangle BDE$都是等边三角形,点$D在边AC$上(不与点$A$、$C$重合),$DE与AB相交于点F$,那么与$\triangle BFD$相似的三角形是(C)

A.$\triangle BFE$
B.$\triangle BDC$
C.$\triangle BDA$
D.$\triangle AFD$

答案： 2.C　[解析]
∵△ABC与△BDE都是等边三角形,
∴∠A=∠BDF=60°.
∵∠ABD=∠DBF,
∴△BFD∽△BDA.
∴与△BFD相似的三角形是△BDA.故选C.

3. 如图,已知$\angle 1= \angle 2= \angle 3$,图中有4对相似三角形.

答案： 3.4　[解析]
∵∠A=∠A,∠1=∠2,
∴△ADE∽△ABC,
∵∠A=∠A,∠1=∠3,
∴△ADE∽△ACD.
∴△ABC∽△ACD.
∵∠1=∠2,
∴DE//BC;
∴∠EDC=∠DCB,
∵∠2=∠3,
∴△BDC∽△CED.

两边对应成比例,且夹角相等的两个三角形相似.

答案： 对应成比例　夹角

【典型例题 3】如图,在$\triangle ABC和\triangle ADE$中,$\angle BAD= \angle CAE$,$\angle ABC= \angle ADE$.
(1)写出图中两对相似三角形(不得添加字母和线)：$\triangle ABC\backsim\triangle ADE$，$\triangle ABD\backsim\triangle ACE$；
(2)请分别说明两对三角形相似的理由.
①证$\triangle ABC\backsim\triangle ADE$:$\because \angle BAD= \angle CAE$，$\therefore \angle BAD+\angle DAC= \angle CAE+\angle DAC$，即$\angle BAC= \angle DAE$。又$\because \angle ABC= \angle ADE$，$\therefore \triangle ABC\backsim\triangle ADE$；
②证$\triangle ABD\backsim\triangle ACE$:$\because \triangle ABC\backsim\triangle ADE$，$\therefore \frac{AB}{AD}= \frac{AC}{AE}$。又$\because \angle BAD= \angle CAE$，$\therefore \triangle ABD\backsim\triangle ACE$.

答案： 思路点拨：$\angle BAD= \angle CAE$,在此等式两边同时加$\angle DAC$,可证$\angle BAC= \angle DAE$,再结合已知中的$\angle ABC= \angle ADE$,可证$\triangle ABC\backsim\triangle ADE$；利用$\triangle ABC\backsim\triangle ADE$,可得$AB:AD = AC:AE$,再结合$\angle BAD= \angle CAE$,也可证$\triangle BAD\backsim\triangle CAE$.
解：
(1)$\triangle ABC\backsim\triangle ADE$,$\triangle ABD\backsim\triangle ACE$.
(2)①证$\triangle ABC\backsim\triangle ADE$,$\because \angle BAD= \angle CAE$,$\therefore \angle BAD+\angle DAC= \angle CAE+\angle DAC$,即$\angle BAC= \angle DAE$.又$\because \angle ABC= \angle ADE$,$\therefore \triangle ABC\backsim\triangle ADE$.
②证$\triangle ABD\backsim\triangle ACE$,$\because \triangle ABC\backsim\triangle ADE$,$\therefore \frac{AB}{AD}= \frac{AC}{AE}$.又$\because \angle BAD= \angle CAE$,$\therefore \triangle ABD\backsim\triangle ACE$.

1. 如图,$\angle 1= \angle 2$,则下列各式不能说明$\triangle ABC\backsim\triangle ADE$的是(B)

A.$\angle D= \angle B$
B.$\frac{AD}{AB}= \frac{DE}{BC}$
C.$\frac{AD}{AB}= \frac{AE}{AC}$
D.$\angle E= \angle C$

答案： 1.B　[解析]
∵∠1=∠2,
∴∠1+∠BAE=∠2+∠BAE,即∠DAE=∠BAC.
A和D符合有两组角对应相等的两个三角形相似;B.对应边成比例但无法证明其夹角相等，故其不能推出两三角形相似;C.符合两组对应边的比相等且夹角相等的两个三角形相似,故选B.