《2025年鲁人泰斗假期好时光八年级数学青岛版》

9. 用不等式表示“$ x $ 的 2 倍与 5 的和不大于 10”是$2x + 5\leqslant 10$。

答案： $2x + 5\leqslant 10$

10. 甲种蔬菜保鲜适宜的温度是 $ 4^{\circ}C \sim 7^{\circ}C $,乙种蔬菜保鲜适宜的温度是 $ 6^{\circ}C \sim 9^{\circ}C $,将这两种蔬菜存放在一起同时保鲜,适宜温度是$6^{\circ }C\sim 7^{\circ }C$。

答案： $6^{\circ }C\sim 7^{\circ }C$

11. 关于 $ x $ 的方程 $ 3k - 5x = 9 $ 的解是非负数,则 $ k $ 的取值范围是$k\geqslant 3$。

答案： $k\geqslant 3$【解析】$3k - 5x = 9$，$x=\frac {3k - 9}{5}$，$\because$关于$x$的方程$3k - 5x = 9$的解是非负数，$\therefore \frac {3k - 9}{5}\geqslant 0$，解不等式，得$k\geqslant 3$，$\therefore k$的取值范围是$k\geqslant 3$。

12. 不等式组 $ \begin{cases} 3x - 2 \leq 4, \\ \frac{1}{2}(x + 1) ＞ 1 \end{cases} $ 的解集是$1＜x\leqslant 2$。

答案： $1＜x\leqslant 2$

13. 若关于 $ x $ 的不等式组 $ \begin{cases} 2x - 1 ＞ 4x + 7, \\ x ＞ a \end{cases} $ 无解,则实数 $ a $ 的取值范围是$a\geqslant -4$。

答案： $a\geqslant -4$

14. 某班男女同学分别参加植树劳动,要求男女同学各种 8 行树,男同学种的树比女同学种的树多,如果每行都比预定的多种一棵树,那么男女同学种树的数目都超过 100 棵；如果每行都比预定的少种一棵树,那么男女同学植树的数目都达不到 100 棵。这样原来预定男同学种树104棵；女同学种树96棵。

答案： 104；96【解析】设原来每行树的棵数为$x$，根据题意，得$\left\{\begin{array}{l} 8(x + 1)＞100\\ 8(x - 1)＜100\end{array}\right.$，解得$11.5＜x＜13.5$，$\because x$为整数，$\therefore x$为 12，13，$\because$男同学种的树比女同学种的树多，$\therefore$男同学每行种 13 棵树，女同学每行种 12 棵树，$\therefore$男同学种了$13×8 = 104$棵树，女同学种了$12×8 = 96$棵树。

15. (8分)解不等式组 $ \begin{cases} 2x - 1 ＜ 7, ① \\ \frac{3x - 1}{2} \geq x + 1, ② \end{cases} $ 并在数轴上表示出不等式组的解集。

答案：
解：由①解得$x＜4$，由②解得$x\geqslant 3$，所以不等式组的解集为$3\leqslant x＜4$，解集在数轴上表示如下图。

16. (10分)已知关于 $ x $ 的不等式 $ \frac{2m - mx}{2} ＞ \frac{1}{2}x - 1 $。
(1)当 $ m = 1 $ 时,求该不等式的解集；
(2)$ m $ 取何值时,该不等式有解,并求出解集。

答案： （1）解：当$m = 1$时，不等式为$\frac{2 - x}{2}＞\frac{x}{2}-1$，去分母，得$2 - x＞x - 2$，移项、合并同类项，得$-2x＞-4$，解得$x＜2$。
（2）解：去分母，得$2m - mx＞x - 2$，移项、合并同类项，得$(m + 1)x＜2(m + 1)$。当$m + 1≠0$，即$m≠ - 1$时，不等式有解；当$m + 1＞0$，即$m＞ - 1$时，解集为$x＜2$；当$m + 1＜0$，即$m＜ - 1$时，解集为$x＞2$。

17. (10分)某商店欲购进 A,B 两种商品,已知购进 A 种商品 5 件和 B 种商品 4 件,共需 300 元；若购进 A 种商品 6 件和 B 种商品 8 件,共需 440 元。
(1)求 A,B 两种商品每件的进价分别是多少元？
(2)若该商店每件 A 种商品售价是 48 元,每件 B 种商品售价为 30 元,且商店将购进 A,B 共 50 件的商品全部售出后,要获得的利润不低于 348 元,问 A 种商品至少购进多少件？

答案： （1）设A种商品每件的进价为$x$元，B种商品每件的进价为$y$元，根据题意，得$\left\{\begin{array}{l}5x + 4y = 300\\6x + 8y = 440\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}x = 40\\y = 25\end{array}\right.$，答：A种商品每件的进价为40元，B种商品每件的进价为25元。
（2）设购进A种商品$m$件，则购进B种商品$(50 - m)$件，根据题意，得$(48 - 40)m+(30 - 25)(50 - m)\geqslant 348$，解得$m\geqslant \frac{98}{3}$，又$\because m$为正整数，$\therefore m$的最小值为33，答：A种商品至少购进33件。

18. (10分)已知关于 $ x $,$ y $ 的方程组 $ \begin{cases} 2x + y = m - 3, \\ x - y = 2m \end{cases} $ 的解 $ x $,$ y $ 均为负数。
(1)求 $ m $ 的取值范围；$-1 ＜ m ＜ 1$
(2)化简：$ |m - 5| + |m + 1| $。6

答案：
(1)解方程组$\left\{\begin{array}{l} 2x + y = m - 3\\ x - y = 2m\end{array}\right.$，
两式相加得：$3x = 3m - 3$，解得$x = m - 1$，
将$x = m - 1$代入$x - y = 2m$，得$m - 1 - y = 2m$，解得$y = -m - 1$，
因为$x$，$y$均为负数，所以$\left\{\begin{array}{l} m - 1 ＜ 0\\ -m - 1 ＜ 0\end{array}\right.$，
解$m - 1 ＜ 0$得$m ＜ 1$，
解$-m - 1 ＜ 0$得$m ＞ -1$，
所以$m$的取值范围是$-1 ＜ m ＜ 1$。
(2)因为$-1 ＜ m ＜ 1$，所以$m - 5 ＜ 0$，$m + 1 ＞ 0$，
则$|m - 5| + |m + 1| = 5 - m + m + 1 = 6$。

19. (10分)已知 $ a $、$ b $ 是整数,关于 $ x $ 的不等式 $ x + 2b ＞ a $ 的最小整数解是 8,关于 $ x $ 的不等式 $ x - 3b + 19 ＜ 2a $ 的最大整数解为 8。
(1)求 $ a $、$ b $ 的值；
(2)若 $ |m - b| = m - b $,$ |m - a| ＞ a - m $,求 $ m $ 的取值范围。

答案：
(1)解：由$x + 2b＞a$，解得$x＞a - 2b$。
由$x - 3b + 19＜2a$，解得$x＜2a + 3b - 19$。
因为$a$、$b$是整数，所以$a - 2b$、$2a + 3b - 19$是整数。
又因为不等式$x + 2b＞a$的最小整数解是8，不等式$x - 3b + 19＜2a$的最大整数解为8，
所以可得$\left\{\begin{array}{l} a - 2b + 1 = 8\\ 2a + 3b - 19 - 1 = 8\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l} a = 11\\ b = 2\end{array}\right.$。
(2)解：因为$|m - b| = m - b$，所以$m - b\geq0$，即$m - 2\geq0$，解得$m\geq2$。
因为$|m - a|＞a - m$，所以$a - m＜0$，即$11 - m＜0$，解得$m＞11$。
综上，$m$的取值范围是$m＞11$。

20. (10分)某公司为奖励在趣味运动会上取得好成绩的员工,计划购买甲、乙两种奖品共 20 件。其中甲种奖品每件 40 元,乙种奖品每件 30 元。
(1)如果购买甲、乙两种奖品共花费了 650 元,求甲、乙两种奖品各购买了多少件？
(2)如果购买乙种奖品的件数不超过甲种奖品件数的 2 倍,总花费不超过 680 元,求该公司有哪几种不同的购买方案？

答案： （1）设甲种奖品购买了$x$件，则乙种奖品购买了$(20 - x)$件，根据题意，得
$40x + 30(20 - x) = 650$
$40x + 600 - 30x = 650$
$10x = 50$
解得$x = 5$
则$20 - x = 20 - 5 = 15$
答：甲种奖品购买了 5 件，乙种奖品购买了 15 件。
（2）设甲种奖品购买了$x$件，乙种奖品购买了$(20 - x)$件，根据题意，得
$\begin{cases}20 - x \leq 2x \\ 40x + 30(20 - x) \leq 680\end{cases}$
解第一个不等式：$20 - x \leq 2x$
$20 \leq 3x$
$x \geq \frac{20}{3} \approx 6.67$
解第二个不等式：$40x + 600 - 30x \leq 680$
$10x + 600 \leq 680$
$10x \leq 80$
解得$x \leq 8$
所以$\frac{20}{3} \leq x \leq 8$
$\because x$为整数
$\therefore x = 7$或$x = 8$
当$x = 7$时，$20 - x = 20 - 7 = 13$
当$x = 8$时，$20 - x = 20 - 8 = 12$
答：该公司有 2 种不同的购买方案：甲种奖品购买 7 件，乙种奖品购买 13 件；甲种奖品购买 8 件，乙种奖品购买 12 件。