《2025年鲁人泰斗假期好时光八年级数学青岛版》

1. 如图,在正方形网格上有两个相似三角形$\triangle ABC和\triangle DEF$,则$\angle BAC$的度数为135°.

答案： 135° 【解析】$\because \triangle ABC \sim \triangle DEF$，
$\therefore \angle BAC = \angle EDF$.
又$\because \angle EDF = 90^{\circ} + 45^{\circ} = 135^{\circ}$，
$\therefore \angle BAC = 135^{\circ}$.

2. 若四边形$ABCD\backsim四边形A'B'C'D'$,它们的面积比是$9:4$,则它们的周长比为(B)
A.$9:4$
B.$3:2$
C.$5:4$
D.$9:2$

答案： B

3. 要制作两个形状相同的三角形框架,其中一个三角形的三边长分别为$5cm$,$6cm和9cm$,另一个三角形的最短边长为$2cm$,则它的最长边为$\frac{18}{5}$$cm$.

答案： $\frac{18}{5}$ 【解析】设另一个三角形的最长边为 $x$ cm，
$\because$ 两个三角形相似，
$\therefore \frac{5}{2} = \frac{9}{x}$.
解得 $x = \frac{18}{5}$.
则另一个三角形的最长边为 $\frac{18}{5}$ cm.

1. 下列图形一定相似的是(C)
A.两个菱形
B.两个矩形
C.两个正方形
D.两个四边形

答案： C 【解析】A. 两个菱形对应边都相等，成比例，但对应角不一定相等，所以不一定相似，故本选项错误；B. 两个矩形对应角都是直角相等，对应边不一定成比例，所以不一定相似，故本选项错误；C. 两个正方形对应角相等，对应边成比例，所以一定相似，故本选项正确；D. 两个四边形对应角不一定相等，对应边不一定成比例，所以不一定相似，故本选项错误. 故选 C.

2. 若某个直角三角形的两直角边之比为$2:3$,则确定了该三角形的(A)
A.形状
B.周长
C.面积
D.斜边

答案： A

3. 如图,$E$,$F分别为矩形ABCD的边AD$,$BC$的中点,若矩形$ABCD\backsim矩形EABF$,$AB = 1$. 求矩形$ABCD$的面积为($\sqrt{2}$)

A.$1$
B.$\frac{\sqrt{2}}{2}$
C.$\sqrt{2}$
D.$2\sqrt{2}$

答案： C 【解析】由矩形 $ABCD \sim$ 矩形 $EABF$ 可得 $\frac{AE}{AB} = \frac{AB}{BC}$，
设 $AE = x$，则 $AD = BC = 2x$，
又 $\because AB = 1$，
$\therefore \frac{x}{1} = \frac{1}{2x}$.
可得 $x^{2} = \frac{1}{2}$，
$\because$ 矩形的长不能是负数，
解得 $x = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
$\therefore BC = 2x = 2 × \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$.
$\therefore S_{矩形 ABCD} = BC × AB = \sqrt{2} × 1 = \sqrt{2}$. 故选 C.

4. 如图,已知矩形$ABCD的边AD长为8cm$,边$AB长为6cm$,从中截去一个矩形(图中阴影部分),如果所截矩形与原矩形相似,那么所截矩形的面积是(B)

A.$28cm^{2}$
B.$27cm^{2}$
C.$21cm^{2}$
D.$20cm^{2}$

答案： B 【解析】依题意，在矩形 $ABCD$ 中截取矩形 $AEFB$，
矩形 $ABCD \sim$ 矩形 $AEFB$，
则 $\frac{AB}{AE} = \frac{AD}{AB}$，
设 $AE = x$ (cm)，得 $\frac{6}{x} = \frac{8}{6}$，
解得 $x = 4.5$.
则截取的矩形面积是 $6 × 4.5 = 27$ ($cm^{2}$).
故选 B.