《2025年鲁人泰斗假期好时光八年级数学青岛版》

1. 如果二次根式$\sqrt {x+3}$在实数范围内有意义,那么x的取值范围是(C)
A.$x≠-3$
B.$x≤-3$
C.$x≥-3$
D.$x＞-3$

答案： C

2. 下列计算正确的是(D)
A.$\sqrt {15}÷\sqrt {3}= \sqrt {12}$
B.$\sqrt {10}-\sqrt {6}= \sqrt {4}$
C.$\sqrt {2}+\sqrt {3}= \sqrt {5}$
D.$\sqrt {2}×\sqrt {3}= \sqrt {6}$

答案： D

3. 下列二次根式中,最简二次根式是(C)
A.$\sqrt {0.1}$
B.$\sqrt {\frac {1}{3}}$
C.$\sqrt {6}$
D.$\sqrt {27}$

答案： C 【解析】A. 原式$=\frac{\sqrt{10}}{10}$，故不是最简二次根式，不符合题意；
B. 原式$=\frac{\sqrt{3}}{3}$，故不是最简二次根式，不符合题意；
C. $\sqrt{6}$是最简二次根式，符合题意；
D. 原式$=3\sqrt{3}$，故不是最简二次根式，不符合题意. 故选 C.

4. 在算式$(-\frac {\sqrt {3}}{3})□(-\frac {\sqrt {3}}{3})$的□中填上运算符号,使结果最大,这个运算符号是(D)
A.加号
B.减号
C.乘号
D.除号

答案： D

5. 已知$a= \sqrt {3}+2,b= \sqrt {3}-2$,则$a^{2}+b^{2}$的值为(B)
A.$4\sqrt {3}$
B.14
C.$\sqrt {14}$
D.$14+4\sqrt {3}$

答案： B 【解析】$\because a=\sqrt{3}+2$，$b=\sqrt{3}-2$，
$\therefore a+b=(\sqrt{3}+2+\sqrt{3}-2)=2\sqrt{3}$，
$ab=(\sqrt{3}+2)(\sqrt{3}-2)=-1$.
$\therefore a^{2}+b^{2}=(a+b)^{2}-2ab=(2\sqrt{3})^{2}-2×(-1)=14$. 故选 B.

6. 下列各数中,与$\sqrt {3}$的积为有理数的是(C)
A.$\sqrt {2}$
B.$3\sqrt {2}$
C.$2\sqrt {3}$
D.$2-\sqrt {3}$

答案： C 【解析】A. $\sqrt{3}×\sqrt{2}=\sqrt{6}$，故选项错误；B. $\sqrt{3}×3\sqrt{2}=3\sqrt{6}$，故选项错误；C. $\sqrt{3}×2\sqrt{3}=6$，故选项正确；D. $\sqrt{3}×(2-\sqrt{3})=2\sqrt{3}-3$，故选项错误. 故选 C.

7. 若$\sqrt {a}$化成最简二次根式后,能与$\sqrt {2}$合并,则a的值不可以是(D)
A.$\frac {1}{2}$
B.8
C.18
D.28

答案： D 【解析】A. $\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，能与$\sqrt{2}$合并，$a$的值可以是$\frac{1}{2}$，本选项不符合题意；B. $\sqrt{8}=\sqrt{4×2}=2\sqrt{2}$，能与$\sqrt{2}$合并，$a$的值可以是 8，本选项不符合题意；C. $\sqrt{18}=\sqrt{9×2}=3\sqrt{2}$，能与$\sqrt{2}$合并，$a$的值可以是 18，本选项不符合题意；D. $\sqrt{28}=\sqrt{4×7}=2\sqrt{7}$，不能与$\sqrt{2}$合并，$a$的值不可以是 28，本选项符合题意. 故选 D.

8. 甲、乙两位同学对代数式$\frac {a-b}{\sqrt {a}+\sqrt {b}}(a＞0,b＞0)$,分别作了如下变形：
甲：$\frac {a-b}{\sqrt {a}+\sqrt {b}}= \frac {(a-b)(\sqrt {a}-\sqrt {b})}{(\sqrt {a}+\sqrt {b})(\sqrt {a}-\sqrt {b})}= \sqrt {a}-\sqrt {b};$
乙：$\frac {a-b}{\sqrt {a}+\sqrt {b}}= \frac {(\sqrt {a}-\sqrt {b})(\sqrt {a}+\sqrt {b})}{\sqrt {a}+\sqrt {b}}= \sqrt {a}-\sqrt {b};$
关于这两种变形过程的说法正确的是(D)
A.甲、乙都正确
B.甲、乙都不正确
C.只有甲正确
D.只有乙正确

答案： D

9. 计算：$\sqrt {6}×\sqrt {7}= $$\sqrt{42}$.

答案： $\sqrt{42}$

10. 若$\frac {\sqrt {x}}{x-3}$有意义,则x的取值范围是$x\geq0$且$x\neq3$.

答案： $x\geq0$且$x\neq3$

11. 若$\sqrt {a}= m,\sqrt {b}= n$,则$\sqrt {100ab}=$$10mn$(用含m、n的代数式表示).

答案： $10mn$

12. 一个长方形的长和面积分别是$\sqrt {10}$和$4\sqrt {5}$,则这个长方形的宽为$2\sqrt{2}$.

答案： $2\sqrt{2}$

13. 若实数$y= \sqrt {x-2}+\sqrt {2-x}$有意义,则$x^{2}+y^{2}$等于4.

答案： 4

14. 观察下列各式,然后解答下列的问题：
$\sqrt {1+\frac {1}{1^{2}}+\frac {1}{2^{2}}}= 1+\frac {1}{1×2},$
$\sqrt {1+\frac {1}{2^{2}}+\frac {1}{3^{2}}}= 1+\frac {1}{2×3},$
$\sqrt {1+\frac {1}{3^{2}}+\frac {1}{4^{2}}}= 1+\frac {1}{3×4}...$
观察以上规律计算
$\sqrt {1+\frac {1}{1^{2}}+\frac {1}{2^{2}}}+\sqrt {1+\frac {1}{2^{2}}+\frac {1}{3^{2}}}+\sqrt {1+\frac {1}{3^{2}}+\frac {1}{4^{2}}}+...$
$+\sqrt {1+\frac {1}{9^{2}}+\frac {1}{10^{2}}}$的结果为$\frac{99}{10}$.

答案： $\frac{99}{10}$ 【解析】$\sqrt{1+\frac{1}{1^{2}}+\frac{1}{2^{2}}}+\sqrt{1+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{3^{2}}}+\sqrt{1+\frac{1}{3^{2}}+\frac{1}{4^{2}}}+\cdots+\sqrt{1+\frac{1}{9^{2}}+\frac{1}{10^{2}}}$
$=1+\frac{1}{1×2}+1+\frac{1}{2×3}+1+\frac{1}{3×4}+\cdots+1+\frac{1}{9×10}$
$=9+(\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}+\cdots+\frac{1}{9×10})$
$=9+(\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\cdots+\frac{1}{9}-\frac{1}{10})$
$=9+(1-\frac{1}{10})$
$=\frac{99}{10}$.

15. (8分)计算：
(1)$(\frac {1}{3})^{-1}+|1-\sqrt {2}|-\frac {2}{\sqrt {2}};$
(2)$(\sqrt {2}-1)^{2}-(\sqrt {5}-\sqrt {2})(\sqrt {5}+\sqrt {2}).$

答案： 解：
(1) 原式$=3+\sqrt{2}-1-\sqrt{2}=2$.
(2) 原式$=(\sqrt{2})^{2}-2\sqrt{2}+1-(5-2)$
$=2-2\sqrt{2}+1-3$
$=-2\sqrt{2}$.

16. (10分)按要求解决下列问题.
(1)化简下列各式：
$\frac {2}{\sqrt {1}}=$2,$\frac {8}{\sqrt {2}}=$$4\sqrt{2}$,$\frac {18}{\sqrt {3}}=$$6\sqrt{3}$,$\frac {50}{\sqrt {5}}=$$10\sqrt{5}$,……；
(2)通过观察,归纳写出能反映这个规律的一般结论,并证明.

答案： 解：
(1) 2 $4\sqrt{2}$ $6\sqrt{3}$ $10\sqrt{5}$
(2) 由
(1)中各式化简情况可得$\frac{2n^{2}}{\sqrt{n}}=2n\sqrt{n}$.
证明如下：$\frac{2n^{2}}{\sqrt{n}}=\frac{2n^{2}\sqrt{n}}{\sqrt{n}\cdot\sqrt{n}}=\frac{2n^{2}\sqrt{n}}{n}=2n\sqrt{n}$.