《2025年鲁人泰斗假期好时光八年级数学青岛版》

10. 如图,方格纸中每个小正方形的边长为$1$,$\triangle ABC和\triangle DEF$的顶点都在方格纸的格点上.
(1)判断$\triangle ABC和\triangle DEF$是否相似,并说明理由；
(2)$P_{1}$,$P_{2}$,$P_{3}$,$P_{4}$,$P_{5}$,$D$,$F是\triangle DEF边上的7$个格点,请在这$7个格点中选取3$个点作为三角形的顶点,使构成的三角形与$\triangle ABC$相似(要求写出$2$个符合条件的三角形,并在图中连接相应线段,不必说明理由).

答案：
10.解:
(1)△ABC和△DEF相似.
　　根据勾股定理,得AB=2$\sqrt{5}$,AC=$\sqrt{5}$,BC=5,DE=4$\sqrt{2}$,
DF=2$\sqrt{2}$,EF=2$\sqrt{10}$;
　
∵$\frac{AB}{DE}$=$\frac{AC}{DF}$=$\frac{BC}{EF}$=$\frac{\sqrt{10}}{4}$,
　
∴△ABC∽△DEF;
(2)答案不唯一,下面6个三角形中的任意2个即可.
　　△DP₂P₅,△P₅P₁F,△DP₂P₁,△P₅P₁D,△P₁P₅P₂,△FDP₁.
　　　　　　

1. 相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比。

答案： 相似比

2. 相似三角形周长的比等于相似比。

答案： 相似比

【典型例题1】
$Rt\triangle ABC$中,$\angle ACB = 90^{\circ}$,点$D$,$E分别为边AB$,$BC$上的点,且$CD = CA$,$DE\perp AB$,求证：$CA^{2}= CE\cdot CB$；

答案： 思路点拨：通过证明$\triangle DCE\backsim\triangle BCD$,可得$\frac{DC}{BC}= \frac{CE}{CD}$,从而得出结论。
证明：
(1)$\because DE\perp AB$,
$\therefore\angle EDB= \angle ACB = 90^{\circ}$。
$\therefore\angle A+\angle B = 90^{\circ}=\angle B+\angle DEB$。
$\therefore\angle A= \angle DEB$。
$\because CA = CD$,
$\therefore\angle A= \angle CDA$。
$\therefore\angle CDA= \angle DEB$。
$\therefore\angle CDB= \angle CED$。
又$\because\angle DCE= \angle BCD$,
$\therefore\triangle DCE\backsim\triangle BCD$。
$\therefore\frac{CD}{CB}= \frac{CE}{CD}$。
$\therefore CD^{2}= CE\cdot CB$。
$\therefore CA^{2}= CE\cdot CB$。