《2025年名校课堂九年级数学上册人教版江西专版》

10. (2023·眉山)如图，AB 切⊙O 于点 B，连接 OA 交⊙O 于点 C，BD//OA 交⊙O 于点 D，连接 CD。若∠OCD = 25°，则∠A =(C)

A.25°
B.35°
C.40°
D.45°

答案： C

11. (2024·包头)如图，四边形 ABCD 是⊙O 的内接四边形，点 O 在四边形 ABCD 内部，过点 C 作⊙O 的切线交 AB 的延长线于点 P，连接 OA，OB。若∠AOB = 140°，∠BCP = 35°，则∠ADC 的度数为 105° 。

答案： 105°

12. (2023·河南)如图，PA 与⊙O 相切于点 A，PO 交⊙O 于点 B，点 C 在 PA 上，且 CB = CA。若 OA = 5，PA = 12，则 CA 的长为 $\frac{10}{3}$ 。

答案： $\frac{10}{3}$

13. 新考向 数学文化 中国元代数学家朱世杰所著《四元玉鉴》记载有“锁套吞容”之“方田圆池结角池图”。“方田一段，一角圆池占之。”意思是说：“一块正方形田地，在其一角有一个圆形的水池(其中圆与正方形一角的两边均相切)”，如图所示。
问题：此图中，正方形一条对角线 AB 与⊙O 相交于点 M，N(点 N 在点 M 的右上方)。若 AB 的长度为 10 丈，⊙O 的半径为 2 丈，则 BN 的长度为 $(8-2\sqrt{2})$ 丈。

答案： $(8-2\sqrt{2})$

14. （2023·南昌青山湖区期末）如图，BD 是⊙O 的直径，A 是 BD 延长线上的一点，点 E 在⊙O 上，BC⊥AE，交 AE 的延长线于点 C，BC 交⊙O 于点 F，且点 E 是$\overset{\frown}{DF}$的中点。
（1）求证：AC 是⊙O 的切线。
（2）若 AD = 3，AE = 3√{2}，求⊙O 的半径。

答案： 解：
(1)证明：连接OE.
∵AE⊥BC，
∴∠EBC+∠BEC=90°.
∵OB=OE，
∴∠DBE=∠BEO.
∵点E是$\overset{\frown}{DF}$的中点，
∴∠EBC=∠DBE=∠BEO.
∴∠BEO+∠BEC=90°，即∠OEC=90°.
∴OE⊥AC.又
∵OE为⊙O的半径，
∴AC为⊙O的切线.
(2)设⊙O的半径为r.
∵AC为⊙O的切线，
∴∠OEC=90°.在Rt△AOE中，$AE^{2}+OE^{2}=AO^{2}$，
∴$(3\sqrt{2})^{2}+r^{2}=(3+r)^{2}$，解得r=1.5.
∴⊙O的半径为1.5.

15. 如图，等边三角形 ABC 的边长为 4，⊙C 的半径为√{3}，P 为 AB 边上一动点，过点 P 作⊙C 的切线 PQ，切点为 Q，则 PQ 的最小值为 3 。

答案： 3

16. (2023·赣州赣县区期末)如图，已知⊙P 的半径是 1，圆心 P 在抛物线 $ y = \frac{1}{2}x^2 - x - \frac{1}{2} $ 上运动，当⊙P 与 x 轴相切时，圆心 P 的坐标为 (3,1)或(-1,1)或(1,-1) 。

答案： (3,1)或(-1,1)或(1,-1)