《2025年名校课堂九年级数学上册人教版江西专版》

1. 如图，$\odot O$是$\triangle ABC$的内切圆，则点$O$是$\triangle ABC$的(B)

A.三条边的垂直平分线的交点
B.三条角平分线的交点
C.三条中线的交点
D.三条高的交点

答案： B

2. 如图，点$O$是$\triangle ABC$的内切圆的圆心. 若$\angle A = 80^{\circ}$，则$\angle BOC$的度数为130°.

答案： 130°

3. 如图，在$\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，$AC = 3$，$BC = 4$，则$\triangle ABC$的内切圆半径$r =$1.

答案： 1

4. 【方程思想】(教材 P100 例 2 变式)如图，$\triangle ABC$的内切圆$\odot O$与$BC$，$CA$，$AB$分别相切于点$D$，$E$，$F$，且$AB = 18$，$BC = 28$，$CA = 26$，则$AF$的长为8.

答案： 8

5. 如图，已知$\triangle ABC$.
(1)尺规作图：用直尺和圆规作出$\triangle ABC$内切圆的圆心$O$.(只保留作图痕迹，不写作法和证明)
(2)如果$\triangle ABC$的周长为$14\mathrm{cm}$，内切圆的半径为$1.3\mathrm{cm}$，则$\triangle ABC$的面积为9.1$\mathrm{cm}^{2}$.

答案： 1. （1）
作图步骤：
作$\angle BAC$的平分线$AD$；
作$\angle ABC$的平分线$BE$；
$AD$与$BE$相交于点$O$，则点$O$就是$\triangle ABC$内切圆的圆心（作图痕迹：以$A$为圆心，适当长为半径画弧，交$AB$、$AC$于两点，再分别以这两点为圆心，大于两点间距离一半的长为半径画弧，两弧相交于一点，过$A$与这个交点作射线$AD$；同理作$\angle ABC$的平分线$BE$）。
2. （2）
解：
根据三角形面积公式$S = S_{\triangle AOB}+S_{\triangle BOC}+S_{\triangle AOC}$。
设$\triangle ABC$三边分别为$a$，$b$，$c$，已知内切圆半径$r = 1.3\mathrm{cm}$，周长$l=a + b + c=14\mathrm{cm}$。
由$S_{\triangle AOB}=\frac{1}{2}cr$，$S_{\triangle BOC}=\frac{1}{2}ar$，$S_{\triangle AOC}=\frac{1}{2}br$。
则$S=\frac{1}{2}(a + b + c)r$（这是根据三角形内切圆的性质推导出来的公式，三角形面积等于三角形周长与内切圆半径乘积的一半）。
把$l = 14\mathrm{cm}$，$r = 1.3\mathrm{cm}$代入公式$S=\frac{1}{2}lr$，得$S=\frac{1}{2}×14×1.3$。
先计算$\frac{1}{2}×14 = 7$，再计算$7×1.3=9.1(\mathrm{cm}^{2})$。
所以$\triangle ABC$的面积为$9.1\mathrm{cm}^{2}$。

6. (2023·南昌雷式学校月考)如图，点$I$为$\triangle ABC$的内心，$AB = 4$，$AC = 3$，$BC = 2$，将$\angle ACB$平移，使其顶点与点$I$重合，则图中阴影部分的周长为(B)

A.$4.5$
B.$4$
C.$3$
D.$2$

答案： B

7. 如图，$\triangle ABC$的周长为$20\mathrm{cm}$，$BC = 6\mathrm{cm}$，$\odot O$是$\triangle ABC$的内切圆，$\odot O$的切线$MN$分别与$AB$，$CA$相交于点$M$，$N$，则$\triangle AMN$的周长为8$\mathrm{cm}$.

答案： 8

8. 如图，$PA$，$PB$分别与$\odot O$相切于点$A$，$B$，$BC$为$\odot O$的直径，$OP$交$\odot O$于点$E$，交$AB$于点$F$. 求证：
（1）$AC// OP$.
（2）点$E$是$\triangle ABP$的内心.

答案： 证明:
(1)
∵PA,PB是⊙O的切线,
∴PA=PB,∠APO=∠BPO.
∴PO⊥AB.
∴∠AFP=90°.
∵BC为⊙O的直径,
∴∠BAC=90°.
∴∠BAC=∠AFP=90°.
∴AC//OP.
(2)连接BE.
∵PB是⊙O的切线,
∴∠PBO=90°.
∴∠PBE+∠OBE=90°.
∵PF⊥AB,
∴∠EBF+∠BEF=90°.
∵OB=OE,
∴∠BEF=∠OBE.
∴∠PBE=∠EBF.
∴BE平分∠PBF.
∵PA,PB是⊙O的切线,
∴PO平分∠APB.
∴点E是△ABP的三条角平分线的交点.
∴点E是△ABP的内心.

9. 新考向 数学文化 我国古代数学家赵爽的“弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形(如图所示). 若直角三角形的内切圆半径为$3$，小正方形的面积为$49$，则大正方形的面积为289.

答案： 289