《2025年名校课堂九年级数学上册人教版江西专版》

10. 关于函数 $ y = 2x^{2} - 3 $，$ y = -\frac{1}{2}x^{2} $ 的图象及性质，下列说法不正确的是 (D)

A.它们的对称轴都是 $ y $ 轴
B.对于函数 $ y = -\frac{1}{2}x^{2} $，当 $ x ＞ 0 $ 时，$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小
C.抛物线 $ y = 2x^{2} - 3 $ 不能由抛物线 $ y = -\frac{1}{2}x^{2} $ 平移得到
D.抛物线 $ y = 2x^{2} - 3 $ 的开口比抛物线 $ y = -\frac{1}{2}x^{2} $ 的开口大

答案： D

11. (2023·江西师大附中月考)在同一平面直角坐标系中，函数 $ y = ax^{2} + k $ 与 $ y = kx + a $($ a \neq 0 $，$ k \neq 0 $)的图象可能是 (D)

答案： D

12. 抛物线 $ y = x^{2} + 3 $ 上有两点 $ A(x_{1}, y_{1}) $，$ B(x_{2}, y_{2}) $，若 $ y_{1} ＜ y_{2} $，则下列结论正确的是(D)

A.$ 0 \leq x_{1} ＜ x_{2} $
B.$ x_{2} ＜ x_{1} \leq 0 $
C.$ x_{2} ＜ x_{1} \leq 0 $ 或 $ 0 \leq x_{1} ＜ x_{2} $
D.$ |x_{1}| ＜ |x_{2}| $

答案： D

13. 若抛物线 $ y = ax^{2} + c $ 与抛物线 $ y = -4x^{2} + 3 $ 关于 $ x $ 轴对称，则 $ a = $ ，$ c4= $ 。-3

答案： 4 -3

14. 已知二次函数 $ y = ax^{2} + 3 $，当 $ x $ 分别取 $ x_{1} $，$ x_{2} $（$ x_{1} \neq x_{2} $）时，函数值相等，则当 $ x = x_{1} + x_{2} $ 时，函数值为 。3

答案： 3

15. 已知抛物线 $ y = \frac{1}{4}x^{2} + 1 $ 具有如下性质：该抛物线上任意一点到定点 $ F(0, 2) $ 的距离与到 $ x $ 轴的距离始终相等。如图，点 $ M $ 的坐标为 $ (\sqrt{3}, 3) $，$ P $ 是抛物线 $ y = \frac{1}{4}x^{2} + 1 $ 上一个动点，则 $ \triangle PMF $ 周长的最小值是 。5

答案： 5

16. 如图，抛物线 $ y = -x^{2} + 4 $ 与 $ x $ 轴交于 $ A $，$ B $ 两点，与 $ y $ 轴交于点 $ C $，四边形 $ ABCD $ 为平行四边形。
（1）直接写出 $ A $，$ B $，$ C $ 三点的坐标。
（2）若抛物线向上平移后恰好经过点 $ D $，求平移后抛物线的解析式。

答案： 解:
(1)$A(-2,0),B(2,0),C(0,4)$.
(2)
∵四边形ABCD是平行四边形,$AB=4,C(0,4),\therefore CD=AB=4,CD// AB$.$\therefore D(-4,4)$.设平移后的抛物线为$y=-x^{2}+4+m$,则$4=-(-4)^{2}+4+m$,解得$m=16$.
∴平移后抛物线的解析式为$y=-x^{2}+20$.

17. 如图，抛物线 $ y = ax^{2} - 3 $ 和 $ y = -ax^{2} + 3 $ 都经过 $ x $ 轴上的 $ A $，$ B $ 两点，两条抛物线的顶点分别为 $ C $，$ D $。当四边形 $ ACBD $ 的面积为 24 时，求 $ a $ 的值。

答案： 解:
∵抛物线$y=ax^{2}-3$和$y=-ax^{2}+3$的顶点分别为C,D,$\therefore C(0,-3),D(0,3)$.$\therefore CD=6$.$\because S_{四边形ACBD}=S_{\triangle ABD}+S_{\triangle ABC}=\frac {1}{2}AB\cdot OD+\frac {1}{2}AB\cdot OC=\frac {1}{2}AB\cdot CD=24$,$\therefore AB=8$.$\therefore A(-4,0)$.将$A(-4,0)$代入$y=ax^{2}-3$,得$16a-3=0$,解得$a=\frac {3}{16}$.