《2025年名校课堂九年级数学上册人教版江西专版》

10. 若小明将如图所示的两条水平直线 $ AB $，$ CD $ 中的一条当成 $ x $ 轴，且向右为正方向；两条竖直直线 $ AC $，$ BD $ 中的一条当成 $ y $ 轴，且向上为正方向，并在此平面直角坐标系中画出了二次函数 $ y = 2(x - 1)^2 $ 的图象，则他所选择的 $ x $ 轴和 $ y $ 轴分别为直线CD和直线AC。

答案： 10. CD AC

11. 若抛物线 $ y = -\frac{1}{3}(x + 2)^2 $ 向右平移 $ m $ 个单位长度后经过点 $ (3, -3) $，则 $ m = $2或8。

答案： 11. 2或8

12. (2023·南充) 若点 $ P(m, n) $ 在抛物线 $ y = ax^2 $($ a \neq 0 $)上，则下列各点在抛物线 $ y = a(x + 1)^2 $ 上的是(D)

A.$ (m, n + 1) $
B.$ (m + 1, n) $
C.$ (m, n - 1) $
D.$ (m - 1, n) $

答案： 12. D

13. 已知二次函数 $ y = 3(x + 2)^2 $ 的图象上有三点 $ A(1, y_1) $，$ B(2, y_2) $，$ C(-3, y_3) $，则 $ y_1 $，$ y_2 $，$ y_3 $ 的大小关系为(B)

A.$ y_1 ＞ y_2 ＞ y_3 $
B.$ y_2 ＞ y_1 ＞ y_3 $
C.$ y_3 ＞ y_1 ＞ y_2 $
D.$ y_3 ＞ y_2 ＞ y_1 $

答案： 13. B

14. 若抛物线 $ y = 2(x - 1)^2 $ 经过 $ (m, n) $ 和 $ (m + 3, n) $ 两点，则 $ n $ 的值为(A)

A.$ \frac{9}{2} $
B.$ -\frac{9}{2} $
C.1
D.$ -\frac{1}{2} $

答案： 14. A

15. 已知二次函数 $ y = \frac{1}{3}(x - h)^2 $，当自变量 $ x $ 的值满足 $ 3 \leq x \leq 5 $ 时，与其对应的函数值 $ y $ 的最小值为 3，求常数 $ h $ 的值。

答案： 15. 解:
∵$y=\dfrac{1}{3}(x-h)^2$,
∴该函数图象开口向上,对称轴是直线$x=h$,当$x=h$时,该函数取最小值0.
∵当自变量$x$的值满足$3\leqslant x\leqslant5$时,与其对应的函数值$y$的最小值为3,
∴①若$h＜3$,则当$x=3$时,$y$取最小值3,即$\dfrac{1}{3}(3-h)^2=3$,解得$h_1=6$(不合题意,舍去),$h_2=0$;②若$3\leqslant h\leqslant5$,则当$x=h$时,$y$取最小值0,与题设矛盾,故该种情况不存在;③若$5＜h$,则当$x=5$时,$y$取最小值3,即$\dfrac{1}{3}(5-h)^2=3$,解得$h_3=2$(不合题意,舍去),$h_4=8$.综上所述,$h$的值是0或8.

16. 二次函数 $ y = (x + 2)^2 $ 的图象如图，顶点为 $ A $，与 $ y $ 轴的交点为 $ B $。
(1) 求经过 $ A $，$ B $ 两点的直线的函数关系式。
(2) 请在第二象限中的抛物线上找一点 $ C $，使 $ \triangle ABC $ 的面积与 $ \triangle ABO $ 的面积相等。

答案： 16. 解:
(1)令$x=0$,则$y=2^2=4$,
∴$B(0,4)$.令$y=0$,则$(x+2)^2=0$,
∴$x=-2$.
∴$A(-2,0)$.设过A,B两点的直线的函数关系式为$y=kx+b$,则$\begin{cases}0=-2k+b,\\4=b,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=2,\\b=4.\end{cases}$
∴经过A,B两点的直线的函数关系式为$y=2x+4$.
(2)由题意,得$S_{\triangle ABO}=\dfrac{1}{2}AO\cdot BO=\dfrac{1}{2}×2×4=4$.过点C作$CD\perp x$轴于点D,设$C(m,n)$,则$n=(m+2)^2$,
∴$CD=(m+2)^2$,$DO=-m$,$DA=-2-m$.
∴$S_{\triangle ABC}=S_{梯形CDOB}-S_{\triangle CDA}-S_{\triangle ABO}=-\dfrac{m}{2}[(m+2)^2+4]-\dfrac{1}{2}(-2-m)(m+2)^2-4=m^2+2m$.
∵$S_{\triangle ABC}=S_{\triangle ABO}=4$,
∴$m^2+2m=4$.解得$m_1=-1+\sqrt{5}$(不合题意,舍去),$m_2=-1-\sqrt{5}$.
∴$C(-1-\sqrt{5},6-2\sqrt{5})$.