《2025年名校课堂九年级数学上册人教版江西专版》

10. (2024·宜春高安市期中改编)如图,在△ABC中,AB=4,AC=3√{2},D是BC的中点,直线l经过点D且可绕点D转动,AE⊥l,BF⊥l,垂足分别为E,F,则AE+BF的最大值为$3\sqrt{2}$.

答案： $3\sqrt{2}$

11. 如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=80°,点D,E分别在边AB,AC上,且DA=DE=CE.
(1)求∠ADE的度数.
(2)将△EAD绕点E逆时针旋转100°,点A的对应点为点F,连接BF.求证:四边形BDEF为平行四边形.

答案： 11.解:
(1)
∵DA=DE,
∴∠DEA=∠A=80°.在△DAE中,∠ADE=180°-∠A-∠DEA=20°.
(2)证明:
∵DE=CE,∠DEC=180°-∠DEA=100°,
∴△EAD绕点E逆时针旋转100°,点D的对应点为点C.
∵△EAD绕点E逆时针旋转100°,点A的对应点为F,
∴∠AEF=100°,AE=EF.
∴∠DEF=∠AEF-∠AED=20°.
∴∠ADE=∠DEF.
∴BD//EF.
∵AB=AC,DA=CE,
∴BD=AE=EF.
∴四边形BDEF为平行四边形.

12. 在平面直角坐标系中,已知点A(2,0),点B在y轴正半轴上,且∠BAO=60°.将△AOB绕O顺时针旋转α°得到△COD,点A,B旋转后的对应点分别为C,D.
(1)如图1,当CD恰好经过点A时,
①直接写出旋转角的度数:60°;
②求出此时点D的坐标.
(2)如图2,若0＜α＜90,求证:AC⊥BD.

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答案： 12.解:
(1)①60° ②过点D作DE⊥x轴于点E.在Rt△OAB中,
∵∠BAO=60°,
∴∠OBA=30°.
∴AB=2OA=4.
∴OB=$\sqrt{AB^2-OA^2}$=$\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt{3}$.
∴OD=OB=$2\sqrt{3}$.又
∵∠AOC=60°,
∴∠DOE=90°-∠AOC=30°.
∵∠DEO=90°,
∴DE=$\frac{1}{2}$OD=$\sqrt{3}$.
∴OE=$\sqrt{OD^2-DE^2}=3$.
∴D(3,$\sqrt{3}$).
(2)证明:延长CA交BD于点P,
∵∠BOD=∠AOC=α°,OB=OD,OA=OC,
∴∠OBD=∠OCA=$\frac{1}{2}(180-α)°$.
∵∠BOC=(90+α)°,四边形OBPC的内角和为360°,
∴∠BPC=360°-2×$\frac{1}{2}(180-α)°-(90+α)°=90°$,即AC⊥BD.